오늘은 기본적인 자유 낙하 운동을 기술해보려고 한다.
질량이 mm 인 물체를 지구 상공 어딘가 높은 곳에서 떨어뜨린다고 생각해보자. 이 때 공기저항은 속도에 비례한다. 따라서,
F=ma=mg−kvF=ma=mg−kv
여기서 k는 상수이고, 우리는 가속도 aa가 속도 vv의 시간미분임을 잘 알고 있다.
mdvdt=mg−kvdvmg−kv=dtm
양 변 적분해주면,
−1kln(mg−kv)=1mt+Cmg−kv=e−kmt+C∴v=1k(mg−e−kmt+C)
그러므로 시간이 충분히 지나 t→∞ 일때, v=mgk 로 수렴한다. 이를 종단속도 vf 라고 부른다. 즉, 물체는 시간이 충분히 지나면 공기의 저항과 지구중력의 크기가 같아져 등속운동을 한다. 따라서 단순히 종단속도vf만 구하고 싶다면, 두 힘은 같다고 놓고 풀면 쉽게 구해낼 수 있다.
F=ma=mg−kvf=0mg=kvfvf=mgk
만약 물체에 작용하는 저항이 속도의 제곱에 비례한다면 어떨까?
F=ma=mg−kv2
마찬가지로 미분방정식을 풀어내면 된다.
mdvdt=mg−kv2dvmg−kv2=1mdt∫dvmg−kv2=∫1mdt
이제 적분을 수행해야되는데, 속도 제곱에 비례하기 때문에 적분이 조금 까다롭다. 우리가 잘 아는 적분형태 ∫11+u2=arctan(u) 로 바꾸어 주자.
Let u=i√kv√mg, du=i√k√mgdv∫dvmg−kv2→−i√mkg∫1u2+1
이제 마저 적분을 수행하면,
−i√mkg∫1u2+1=∫1mdt−i arctan(u)√mkg=tm+C
이 때
tan(u)=sin(u)cos(u)=eix−e−ix2ieix+e−ix2=eix−e−ixi(eix+e−ix)
이고,
tanh(iu)=sinh(iu)coshiu=eix−e−ixeix+e−ix
이므로,
itan(u)=tanh(iu)
라는 사실을 유도할 수 있다. 따라서, iarctan(u)=tanh−1(iu) 이고, 우리가 원래 풀던 미분방정식은
−iarctan(u)=t√kg√m+C−tanh−1(iu)=t√kg√m+Ctanh−1(√k√mgv)=t√kg√m+C
식을 정리하면, 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
∴v=√mgktanh(√kgmt)ift →∞,vf=√mgk
정리하자면, 물체에 적용되는 항력이 속도에 비례할 때 종단속력은 vf=mgk, 속도 제곱에 비례할 때는 √mgk 라는 것을 구할 수 있었다.
각각에 대해서 시간에 따른 속도변화 그래프는 아래와 같다.