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예제 연습장/고전역학

자유 낙하 운동

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    오늘은 기본적인 자유 낙하 운동을 기술해보려고 한다. 

    질량이 mm 인 물체를 지구 상공 어딘가 높은 곳에서 떨어뜨린다고 생각해보자. 이 때 공기저항은 속도에 비례한다. 따라서,

F=ma=mgkvF=ma=mgkv 

    여기서 k는 상수이고, 우리는 가속도 aa가 속도 vv의 시간미분임을 잘 알고 있다. 

mdvdt=mgkvdvmgkv=dtm

  양 변 적분해주면, 

1kln(mgkv)=1mt+Cmgkv=ekmt+Cv=1k(mgekmt+C)

 

    그러므로 시간이 충분히 지나 t 일때, v=mgk 로 수렴한다. 이를 종단속도 vf 라고 부른다. 즉, 물체는 시간이 충분히 지나면 공기의 저항과 지구중력의 크기가 같아져 등속운동을 한다. 따라서 단순히 종단속도vf만 구하고 싶다면, 두 힘은 같다고 놓고 풀면 쉽게 구해낼 수 있다. 

F=ma=mgkvf=0mg=kvfvf=mgk


    만약 물체에 작용하는 저항이 속도의 제곱에 비례한다면 어떨까?

F=ma=mgkv2

    마찬가지로 미분방정식을 풀어내면 된다.

mdvdt=mgkv2dvmgkv2=1mdtdvmgkv2=1mdt

    이제 적분을 수행해야되는데, 속도 제곱에 비례하기 때문에 적분이 조금 까다롭다. 우리가 잘 아는 적분형태 11+u2=arctan(u) 로 바꾸어 주자. 

Let u=ikvmg, du=ikmgdvdvmgkv2imkg1u2+1

    이제 마저 적분을 수행하면,

imkg1u2+1=1mdti arctan(u)mkg=tm+C

    이 때

tan(u)=sin(u)cos(u)=eixeix2ieix+eix2=eixeixi(eix+eix)

    이고, 

tanh(iu)=sinh(iu)coshiu=eixeixeix+eix 

    이므로, 

itan(u)=tanh(iu)

    라는 사실을 유도할 수 있다. 따라서, iarctan(u)=tanh1(iu) 이고, 우리가 원래 풀던 미분방정식은

iarctan(u)=tkgm+Ctanh1(iu)=tkgm+Ctanh1(kmgv)=tkgm+C

    식을 정리하면, 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 

v=mgktanh(kgmt)ift ,vf=mgk

 

    정리하자면, 물체에 적용되는 항력이 속도에 비례할 때 종단속력은 vf=mgk, 속도 제곱에 비례할 때는 mgk 라는 것을 구할 수 있었다. 

    각각에 대해서 시간에 따른 속도변화 그래프는 아래와 같다.