오늘은 기본적인 자유 낙하 운동을 기술해보려고 한다.
질량이 $m$ 인 물체를 지구 상공 어딘가 높은 곳에서 떨어뜨린다고 생각해보자. 이 때 공기저항은 속도에 비례한다. 따라서,
$$ F= ma = mg - kv $$
여기서 k는 상수이고, 우리는 가속도 $a$가 속도 $v$의 시간미분임을 잘 알고 있다.
$$ m\frac{dv}{dt} = mg -kv \\ \frac{dv}{mg-kv} = \frac{dt}{m}$$
양 변 적분해주면,
$$ -\frac{1}{k} ln(mg-kv) =\frac{1}{m} t + C \\ mg-kv = e^{-\frac{k}{m} t+C} \\ \therefore v= \frac{1}{k} (mg-e^{-\frac{k}{m}t+C}) $$
그러므로 시간이 충분히 지나 $ t \to \infty$ 일때, $v = \frac{mg}{k} $ 로 수렴한다. 이를 종단속도 $v_f$ 라고 부른다. 즉, 물체는 시간이 충분히 지나면 공기의 저항과 지구중력의 크기가 같아져 등속운동을 한다. 따라서 단순히 종단속도$v_f$만 구하고 싶다면, 두 힘은 같다고 놓고 풀면 쉽게 구해낼 수 있다.
$$ F=ma=mg-kv_f = 0 \\ mg=kv_f \\ v_f = \frac{mg}{k}$$
만약 물체에 작용하는 저항이 속도의 제곱에 비례한다면 어떨까?
$$ F = ma = mg - kv^2 $$
마찬가지로 미분방정식을 풀어내면 된다.
$$ m \frac{dv}{dt} = mg-kv^2 \\ \frac{dv}{mg-kv^2} = \frac{1}{m} dt \\ \int \frac{dv}{mg-kv^2} = \int \frac{1}{m} dt $$
이제 적분을 수행해야되는데, 속도 제곱에 비례하기 때문에 적분이 조금 까다롭다. 우리가 잘 아는 적분형태 $ \int \frac{1}{1+u^2} = arctan(u) $ 로 바꾸어 주자.
$$ Let \ u = \frac{i\sqrt{k}v}{\sqrt{mg}}, \ du = \frac{i\sqrt{k}}{\sqrt{mg}} dv \\ \int \frac{dv}{mg-kv^2} \rightarrow -\frac{i}{\sqrt{mkg}} \int \frac{1}{u^2+1} $$
이제 마저 적분을 수행하면,
$$-\frac{i}{\sqrt{mkg}} \int \frac{1}{u^2+1} = \int \frac{1}{m} dt \\ -\frac{i \ arctan (u)}{\sqrt{mkg}} = \frac{t}{m} +C$$
이 때
$$tan(u) = \frac {sin (u)}{cos (u)} = \frac{\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}{\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}} \\ = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{i(e^{ix}+e^{-ix})} $$
이고,
$$ tanh (iu) =\frac{sinh(iu)}{cosh{iu}} = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}} $$
이므로,
$$ itan(u) = tanh(iu) $$
라는 사실을 유도할 수 있다. 따라서, $$ i arctan (u) = tanh^{-1} (iu) $$ 이고, 우리가 원래 풀던 미분방정식은
$$ -i arctan(u) = \frac{t\sqrt{kg}}{\sqrt{m}} + C \\ -tanh^{-1}(iu) = \frac{t\sqrt{kg}}{\sqrt{m}} +C \\ tanh^{-1}(\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{mg}}v)=\frac{t\sqrt{kg}}{\sqrt{m}} + C$$
식을 정리하면, 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
$$ \therefore v = \sqrt{\frac{mg}{k}} tanh (\sqrt{\frac{kg}{m}}t) \\ if \quad t \ \to \infty, \quad v_f = \sqrt{\frac{mg}{k}} $$
정리하자면, 물체에 적용되는 항력이 속도에 비례할 때 종단속력은 $v_f = \frac{mg}{k}$, 속도 제곱에 비례할 때는 $\sqrt{\frac{mg}{k}}$ 라는 것을 구할 수 있었다.
각각에 대해서 시간에 따른 속도변화 그래프는 아래와 같다.