Momentum operator $\hat{p}$는 1차원 $x$ space에서 $i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ 라는 것을 알고 있다. 그렇다면 반대로 position operator $\hat{x}$ 는 momentum space에서 어떻게 표현할 수 있을까?
먼저 $[\hat{x},\hat{p}] = \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} = i\hbar$ 라는 사실을 상기시키고 시작해보자. (일반적으로, $[\vec{r}_i,\vec{p}_j]=i\hbar\delta_{ij}$)
같은 계산을 통해 $[\hat{p},\hat{x}] = \hat{p}\hat{x} - \hat{x}\hat{p} = -i\hbar$ 이다.
$$ <p \left |[\hat{p},\hat{x}] \right | p'> = <p \left |\hat{p}\hat{x}-\hat{x}\hat{p} \right | p'> = (p-p')<p \left |\hat{x} \right | p'> $$
그런데,
$$<p \left |[\hat{p},\hat{x}] \right | p'> = <p \left |-i\hbar \right | p'> = -i\hbar \delta(p-p')$$
이다. 따라서
$$ (p-p')<p \left |\hat{x} \right | p'> = -i\hbar \delta(p-p') $$
여기서 $-i\hbar \delta(p-p')$ 은 delta function이니까 당연히 even function인데, $(p-p')$이 odd function 이므로 <p $\left |\hat{x} \right | p'>$는 odd function 이라는 것을 알 수 있다.
이제 x operator를 momentum space에서 표현해보자.
$$ <p \left |\hat{x} \right | \psi > = <p \left |\hat{x} \cdot 1 \right | \psi > = \int_{-\infty}^{\infty}<p \left |\hat{x} \mid p' >< p' \right | \psi >dp' $$
여기서 $<p' \mid \psi> \equiv \phi(p') $ 이라고 정의하면 (주의 - p에 대한 함수가 아니다. p공간에서의 함수다.),
$$<p \left |\hat{x} \right | \psi > = \int_{-\infty}^{\infty} <p \mid \hat{x} \mid p' > \phi(p')dp'$$
그리고 $p'=p$ 에서
$$ \phi(p') = \phi(p) + \phi'(p)(p'-p) + \frac{1}{2!} \phi''(p)(p'-p)^2 + \frac{1}{3!} \phi'''(p)(p'-p)^3 + \cdots $$
이므로, 대입하면
$$ <p \left |\hat{x} \right | \psi > = \int_{-\infty}^{\infty} <p \mid \hat{x} \mid p' > \phi(p')dp' \\ = \int_{-\infty}^{\infty} <p \mid \hat{x} \mid p' > (\phi(p) + \phi'(p)(p'-p) + \frac{1}{2!} \phi''(p)(p'-p)^2 + \frac{1}{3!} \phi'''(p)(p'-p)^3 + \cdots)dp' \\ = \int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' > \phi(p)dp'
+ \int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' >\phi'(p)(p'-p)dp'
\\ + \int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' > \frac{1}{2!} \phi''(p)(p'-p)^2 dp'
+ \cdots$$
Term을 하나 씩 살펴보면, 먼저 가장 앞에 있는 $\int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' > \phi(p)dp'$ 에서 $<p \mid \hat{x} \mid p' >$ 가 odd function 이므로 이 적분은 0이다. 다음, 두 번째 term $\int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' >\phi'(p)(p'-p)dp'$은 다음과 같이 전개된다.
$$ \int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' >\phi'(p)(p'-p)dp'
= \phi'(p)\int_{-\infty}^{\infty}-<p \mid \hat{x} \mid p' >(p-p')dp'
\\ = \phi'(p)\cdot i\hbar \int_{-\infty}^{\infty} \delta(p'-p)
= \frac{\partial \phi(p)}{\partial p} i\hbar $$
세 번째 term $\int_{-\infty}^{\infty}<p \mid \hat{x} \mid p' > \frac{1}{2!} \phi''(p)(p'-p)^2 dp' $은 $\frac{1}{2!}\phi''(p)\int_{-\infty}^{\infty} i\hbar\delta(p-p')(p'-p)dp'$ 이므로 0이다. 이후 나머지 항들 또한 마찬가지 이유로 0이 된다. 따라서
$$ <p \left |\hat{x} \right | \psi > = \frac{\partial \phi(p)}{\partial p} i\hbar = i\hbar\frac{\partial}{\partial p} <p \mid \psi> $$
$$ \therefore \hat{x} = i\hbar\frac{\partial}{\partial p} $$
이렇게 x operator를 p공간에서 표현할 수 있다.
