레비-치비타(Levi-civita) 심볼을 이용한 벡터 대수

3차원 공간 레비 치비타 Symbol은 다음과 같이 정의된다.

$$\varepsilon_{ijk} = \left\{\begin{matrix} 1 \quad (even \ permuation) \\ -1 \quad (odd \ permutation) \\ 0 \quad (others) \end{matrix}\right.$$

이 때 even permutation이란 $\varepsilon_{123}=\varepsilon_{231}=\varepsilon_{321}=\cdots$을 의미하고, odd permutation이란 $\varepsilon_{213} = \varepsilon_{132} = \varepsilon_{231} = \cdots$ 를 의미한다. 

이 기호를 이용해 벡터대수를 쉽게 할 수 있다. 다음과 같은 두 벡터가 있다고 하자.

$$\vec{A} = (A_1,A_2,A_3), \ \vec{B} = (B_1,B_2,B_3)$$  

이 두 벡터 외적은 다음과 같다. 

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{1} & \hat{2} & \hat{3} \\  A_1 & A_2 & A_3\\  B_1 & B_2 & B_3 \end{vmatrix} = \hat{1}(A_2B_3-A_3B_2) +\hat{2}(A_3B_1-A_1B_3) +\hat{3}(A_1B_2-A_2B_1)$$

이제 $\varepsilon_{ikm}{km}$을 고려해보자. 

만약 $i=1$ 라면,

$$\varepsilon_{1km}A_kB_m = \varepsilon_{123}A_2B_3+\varepsilon_{132}A_3B_2 = A_2B_3 - A_3B_2$$  

만약 $i=2$ 라면,

$$\varepsilon_{2km}A_kB_m = \varepsilon_{231}A_3B_1+\varepsilon_{213}A_1B_3 = A_3B_1 - A_1B_3$$

만약 $i=3$ 라면, 

$$\varepsilon_{3km}A_kB_m = \varepsilon_{312}A_1B_2+\varepsilon_{321}A_2B_1 = A_1B_2 - A_2B_1$$

따라서 벡터곱의 한 성분은 다음과 같이 표현할 수 있다. (Einstein convention을 따라 $\sum$을 생략한다)

$$(\vec{A} \times \vec{B})_i = \varepsilon_{ijk}A_j B_k$$

 

위 표현을 사용해 Vector caculous의 여러 정리를 간단하게 증명할 수 있다. 

1. 

$$\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = C_i \varepsilon_{ijk}A_j B_k = \varepsilon_{jki} A_j B_k C_i = \varepsilon_{jki} B_k C_i A_j  = (\vec{B} \times \vec{C})_j A_j = (\vec{B} \times \vec{C})\cdot A$$

 

2. $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} (\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C} (\vec{A} \cdot \vec{B})$ 증명

$$(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}))_i = \varepsilon_{ijk}A_j(\vec B \times \vec C)_k = \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} A_j B_l C_m$$

이 때 $\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} = \varepsilon_{kij} \varepsilon_{klm} = \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$ 이다. 따라서 

$$\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} A_j B_l C_m = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_j B_l C_m  = A_j B_i C_j - A_j B_j C_i =\vec{B} (\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C} (\vec{A} \cdot \vec{B})$$

 

3. $(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = \vec{C}(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{D} - \vec{D}(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}$ 증명

$$(\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = \varepsilon_{ijk} (\vec{A} \times \vec{B})_j (\vec{C} \times \vec{D})_k =  \varepsilon_{ijk}  \varepsilon_{jlm}  \varepsilon_{kpq} A_l B_m C_p D_q  =\varepsilon_{jlm}  \varepsilon_{ijk}  \varepsilon_{pqk} A_l B_m C_p D_q$$

$$= \varepsilon_{jlm} A_l B_m (\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp})C_p D_q = (\vec {A} \times \vec{B})_j(C_i D_j - C_j D_i) = \vec{C}(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{D} - \vec{D}(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}$$

 

4. $\nabla \times \nabla \psi = 0$ 증명 (1st vector identity)

$$\varepsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \psi}{\partial x_k}$$

만약 $i=1$ 이면,

$$\varepsilon_{123} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_2 \partial x_3} + \varepsilon_{132} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_3 \partial x_2} =0$$  

만약 $i=2$ 이면, 

$$\varepsilon_{213} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_3} + \varepsilon_{231} \frac{\partial^3 \psi}{\partial x_3 \partial x_1} =0$$

만약 $i=3$ 이면,

$$\varepsilon_{312} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x_1 \partial x_2} + \varepsilon_{321} \frac{\partial^3 \psi}{\partial x_2 \partial x_1} =0$$  

따라서 항상 $\nabla \times \nabla \psi = 0$이다.

 

5. $\nabla\cdot(\nabla \times \vec{v}) = 0$ 증명 (2nd vector identity)

$$\frac{\partial}{\partial x_i} (\nabla \times \vec{v})_i = \varepsilon_{ijk}\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} V_k$$  

만약 $k=1$ 이면 

$$\varepsilon_{231} \frac{\partial^2}{\partial x_2 \partial x_3} V_1 + \varepsilon_{321} \frac{\partial^2}{\partial x_3 \partial x_2} V_1 = 0$$

같은 원리로 $k=2$,$k=3$ 일 때 모두 0이다. 따라서 항상 0이다.

 

위에서 증명한 1st vector identity와 2nd vector identity는 각각 electrostatics와 electromagnetics의 근간이 되는 원리이다. Electrostatics에서 $\nabla \times \vec{E} = 0, \ \vec{E} = -\nabla \Psi$ 이고, $\Psi$는 정전기 퍼텐셜이다. 

Electromagnetics에서 $\nabla \times \vec {B} = 0, \ \vec{B} = \nabla \times \vec{A}$이고, $\vec{A}$ 는 vector 포텐셜이다.  

 

이외에도 많은 벡터 대수를 levi-civita symbol을 통해 쉽게 표현할 수 있다.