음파는 액체나 기체와 같은 다양한 유체속에서 전파될 수 있고, 유체의 국부적인 압력(local pressure)과 밀도의 진동으로 구성된다. 오늘은 유체 내에서 음파의 속도를 유도해본다.
위와 같은 상황을 생각해보자. 여기서 $d\vec{\sigma}$ 는 area element vector이고, $\rho\vec{u}$ 는 mass flux로 단위시간당 단위면적당 질량이다. 따라서 $ \oint_S \rho \vec{u} \cdot d\vec{\sigma} $ 는 mass flux out of a closed surface S 이다.
$$ \oint_S \rho \vec{u} \cdot d\vec{\sigma} = -\frac{\partial}{\partial t} \int \rho dV$$
여기에 가우스 정리를 적용하면
$$ \oint_S \rho \vec{u} \cdot d\vec{\sigma} = \int_V \nabla \cdot (\rho \vec{u}) dV$$
$$ \therefore \int_V \nabla \cdot (\rho \vec{u}) dV = -\int \frac{\partial\rho}{\partial t} dV$$
따라서 $\nabla \cdot (\rho \vec{u}) = -\frac{\partial\rho}{\partial t} $ 이다.
1차원에서,
$$\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} $$
이다. 익숙한 이 식은 바로 연속방정식이다.
또, 압력구배로 인해 유체 요소에 가해지는 단위 질량 당 힘은
$$ - \frac{1}{\rho} \nabla P = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{D \vec{u}}{Dt}$$
이 때 $\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + {\vec{u}\cdot \nabla}$ 이다. convective derivative in the co-monig frame or material derivative 이다. $\frac{D\vec{u}}{Dt}$는 local acceleration이다.
이를 잘 조합해
$$-\frac{1}{\rho} \nabla P = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} $$
라는 식을 구할 수 있다. 위 식은 유명한 Euler equation이다.
1차원에서는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} $$
다시, 아까 연속방정식에서,
$$\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} $$
$$u \frac{\partial \rho}{\partial x} + \rho \frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} $$
양변을 $\rho$로 나누면
$$u\frac{1}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial x} + \rho \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial t} $$
$\frac{d \rho}{\rho} \equiv d \xi$ 라고 하자. 그럼,
$$ u \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial \xi}{\partial t} $$
로 표현할 수 있다. 이 때 첫번째 항 $u \frac{\partial \xi}{\partial x}$ 은 작은 진폭을 갖는 음파에 대해서 무시할 수 있다. 따라서,
$$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial \xi}{\partial t} $$
1D Euler equation으로 부터
$$ -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} $$
였는데, 여기서도$u \frac{\partial u}{\partial x} $는 무시해줄 수 있다.
따라서,
$$ -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial t} $$
이 때
$$ B = \rho \frac{\partial P}{\partial \rho} $$
라고 하자. 그러면
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} $$
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial x} = -\frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial P}{\partial \rho} = -\frac{B}{\rho} \frac{\partial \xi}{\partial x}$$
$$\therefore \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{B}{\rho} \frac{\partial \xi}{\partial x}$$
$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial \xi}{\partial t} $ 을 t에 대해 미분하면
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x} = -\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}$$
또, $\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{B}{\rho} \frac{\partial \xi}{\partial x}$ 을 x에 대해서 미분하면
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = -\frac{B}{\rho} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} $$
따라서 위 두 식을 묶으면
$$ \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = \frac{B}{\rho} \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} $$
혹은
$$ \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}= \frac{\rho}{B}\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} $$
이 $\xi(x,t) \varpropto e^{i(kx-\omega t)}$ 라고 하자. $k$는 wave number, $\omega$는 angular frequency이다. 즉, wave이다. 이를 대입하면,
$$ [(ik)^2-\frac{\rho}{B} (-i\omega)^2] e^{i(kx-\omega t)} = 0 $$
이 된다. 여기서 $ e^{i(kx-\omega t)} $ 는 0이 되면 안되기 때문에 (음파의 속도를 구하는데 파동이 0이면,, trivial하다.) 첫번째 항 $[(ik)^2-\frac{\rho}{B} (-i\omega)^2] $ 이 0이라는 것을 알 수 있다. 따라서
$$ \omega^2 = \frac{B}{\rho} k^2 $$
이라는 식을 구할 수 있고, 이것은 바로 음파의 분산 방정식이다. 분산 방정식은 $\omega = \omega(k) $ 로 나타내지는 식을 일컫는다.
따라서 최종적으로 우리가 구하고 싶었던 음파의 속도는
$$ v_s = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{B}{\rho}} $$
라는 것을 알 수 있다.
여기서 B는 bulk modulus 라고 부른다.
이 때 $\omega = \frac{2\pi}{T}$ , $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ 이므로
$$ v_s = \frac{2\pi/T}{2\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{T} $$
라는 것 또한 구할 수 있다.
