실제 세계에서 왜 양자적 거동을 볼 수 없는지 간단한 예시들을 통해 알아보고자 한다.
먼저 다음과 같은 Pendulum을 생각해보자.
이 Pendulum의 Zero point에서의 oscillation하는 진폭은 어떨까? 위 진자의 운동에너지 $T$와 퍼텐셜에너지 $U$는 각각
$$ T = \frac{1}{2} m \dot{x}^{2} = \frac{1}{2}m(l\dot{\theta})^{2} \\ U = mgz = mgl(1-cos\theta)$$
이므로, 라그랑지안은
$$ L = T-U = \frac{1}{2}m(l\dot{\theta})^{2} - mgl(1-cos\theta)$$
Lagrange equation of motion에 의해서,
$$ \frac{\partial L}{\partial \theta} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 0 \\ mglsin \theta + ml\ddot{\theta} = 0 \\ \frac{g}{l} \theta + \ddot{\theta} = 0 \\ \ddot{\theta} + \omega ^{2} \theta \quad (where \ \omega^2 = \frac{g}{l})$$
이 때 zero point에서의 작은 각도이기 때문에 $sin \theta \approx \theta$ 로 어림했다. 라그랑지안과 최소 작용의 원리를 통해 얻은 익숙한 위 운동 방정식은 Hooke's law와 같다는 것 - 즉 Simple harmonic oscillation 이라는 것을 단번에 알 수 있다. S.H.O에서 Potential energy $V(x) = \frac{1}{2}kx^{2}$ 이고 local mimima $x_0$에서 이를 Taylor series로 전개하면,
$$ V(x) = V(x_0) + V'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} V''(x_0)(x-x_0)^{2} + ...$$
$As \ x \rightarrow x_0$, ${V'(x_0)=0}$,
$$ V(x) \approx \frac{1}{2} V''(0) x^{2} = \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 $$
Time - independent Schrödinger equation에서 $\hat{H}\psi = E\psi$ 이고,
$$ (-\frac{\hbar ^{2}}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m \omega^{2} x^2) \psi = E \psi $$
$\xi \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x $, $\epsilon \equiv \frac{E}{\hbar \omega}$ 로 정의 하면,
$$ -\frac{1}{2} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{1}{2} \xi^2 \psi = \epsilon \psi$$
다시, $\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi + \frac{d}{d\xi}), \hat{a^{\dagger}}\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(\xi - \frac{d}{d\xi})$ 라고 정의하면 우리는 $\hat{x}, \hat{p}$를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \hat{x} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}}(\hat{a}+\hat{a^{\dagger}}),\quad \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} = i \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}(\hat{a^{\dagger}}-\hat{a})} $$
따라서 $<\hat{x}> = 0 , <\hat{p}> = 0 , <\hat{x^2}> = \frac{\hbar}{m\omega} (n+\frac{1}{2}) , <\hat{p^2}> = m\hbar\omega (n + \frac{1}{2}) $ 라는 것을 쉽게 계산할 수 있다.
이 때 $<\hat{H}> = <T> + <V> $ 이고, harmonic oscillator의 $E = (n+\frac{1}{2}) \hbar \omega $ 이다.
$<V> = \frac{1}{2}m \omega^2 <\hat{x}^2> = \frac{1}{2}\hbar \omega (n+\frac{1}{2}) $ 이므로, $<T> = \frac{1}{2} \hbar \omega (n+\frac{1}{2})$ 이다. 즉, $<T>=<V> = \frac{1}{2}<E>$ 임을 알 수 있다.
ground state에서 $(n=0)$
$$<V> = \frac{1}{2}<E_0> = \frac{1}{4} \hbar \omega = \frac{1}{2} m \omega^2 <\hat{x}^2>$$
Pendulum에서 $\omega^2 = \frac{g}{l} $ 이고, $<x^2> = \frac{1}{2} \frac{\hbar}{m \omega} $ 이므로, 따라서
$$ <x> = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} $$
여기서 진자의 질량을 1kg, 줄의 길이를 1m라고 한다면,
$$ <x> = 0.41 \times 10^{-17} m $$
이다. 따라서 우리는 이 미세한 진동을 관측할 수 없다.
