CSCO는 Complete Set of Commuting Observables의 줄임말이다. 양자역학에서 이는 다음과 같이 정의된다.
| Complete Set of Commuting Observables (CSCO) is a set of commuting operators whose eigenvalues completely specify the state of a system. |
정의를 정확하기 이해하기 위해, 아래 용어의 뜻을 정확하게 짚고 넘어갈 필요가 있다.
1. 먼저 Observable은 Hermitian Operator를 의미한다. 잘 알고 있겠지만, $A^{\dagger} = A$ 인 경우, (matrix에서 $(A^T)^{-1} = A$ 인 경우) A를 Hermitian이라고 한다.
2. 다음, 임의의 서로 다른 두 연산자가 공통의 고유함수(eigenfunction)를 가지고 있다면, 두 연산자는 교환가능 (commute) 하다고 볼 수 있다. 즉,
$$ \left\{ \begin{array}{c} A\psi = a\psi \\ B\psi = b\psi \end{array} \right. $$
이면,
$$[A,B] = AB - BA = 0$$
이다. 이 때 고유함수 $\psi$는 규격화(normalized)된 고유함수이다.
자 이제, $[A,B] = 0 , A\ket{a_n} = a_n\ket{a_n}$ 이라고 해보자.
$[A,B]=0$ 이기 때문에, $\ket{a_n}$은 $B$의 eigenstate이기도 하다. 이 때 $\ket{a_n}$은 degeneracy가 없기 때문에 B는 고윳값을 갖는다. 즉, $B\ket{a_n} = b_n\ket{a_n}$
$\ket{a_n}$이 A,B의 공통된 eigenstate이고, 각각 $a_n, b_n$을 eigenvalue로 갖기 때문에, $\ket{a_n, b_n}$으로 표시할 수 있다.
$$ A\ket{a_n, b_n} = a_n\ket{a_n, b_n} \\ B\ket{a_n, b_n} = b_n\ket{a_n,b_n} $$
그런데 만약 $a_n$ 이 $A$의 degenerative value라면, 다시 말해 $A\ket{a_n} = a_n\ket{a_n}$ 이외에 A|├ z_n ⟩┤=a_n |├ z_n ⟩┤ ,A|├ y_n ⟩┤=a_n |├ y_n ⟩┤··· 이 있으면 a_n이라는 eigenvalue 만으로 |├ a_n ⟩┤을 특정할 수 없다. 그런데 이 때 B|├ a_n ⟩┤=b_n |├ a_n ⟩┤ 이 있고, B가 degenerate하지 않다면, 특정 가능하다. 즉, Eigenstate |├ a_n ⟩┤ 은 A와 B의 simultaneous eigenstates인 |├ a_n, b_n ⟩┤으로 완전하게(completely) labelled 될 수 있다.
연산자의 집합이 서로 commute 하고, 모든 공통된 상태가 degenerate 하지 않는다는 의미에서 완전(complete)하다면, 이런 집합을 Complete Set of Commuting Observables라고 한다.
CSCO에 대해서, 우리는 이 집합이 전부 simultaneously diagonalize하는 unique한 unitary transformation을 찾을 수 있다. 만약 unitary transformation이 한개보다 많다면, 그 set는 아직 complete 하지 않다고 말할 수 있다.
(수정중)
