Four vector (4원벡터)는 기존의 3차원에서 시간을 포함한 벡터이다. 수학적으로는 tensor로 구현된다.
$$x_\mu = (ct, x_1, x_2, x_3)$$
참고로 아래 첨자가 $i,j,k$ 이면 공간이고, greek으로 $\mu, \phi, \rho, ...$ 이면 시공간을 뜻한다.
이제 아래와 같은 수식을 살펴보자.
$$c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2$$
이 수식은 시공간상에서의 거리를 나타낸다. 우리는 이 수식의 세 가지 경우를 살펴볼 수 있는데, 먼저
1. $c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$ 인 경우
이 경우 $c^2 t^2 = x^2 + y^2 + z^2 $ 이므로, 빛이 이동하는 시간과 좌표를 표현한다. 즉, $t = \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{c}$. 이 경우를 lightlike 한 경우라고 한다.
2. $c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 >0$ 인 경우
이 경우는 $c^2 t^2 > x^2 + y^2 + z^2$ 이므로, 빛보다 느린 경우 즉, timelike한 경우이다. 바로 우리가 사는 곳이다.
3. $c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 < 0 $ 인 경우
세번째는 $c^2 t^2 < x^2 + y^2 + z^2 $ 이고 이는 spacelike한 경우이다. 즉, 빛보다 빠른 경우이다. (우리는 접근할 수 없다.)
$c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $ 는 Lorentz - Transformation에 대해서 invariant한 양이다. 즉, 어느 관성계에서나 동일하다. 우리는 이 4원 좌표에 대응하는 4원운동량을 구하고 비교할 수 있다. 이는 시간과 에너지, 좌표와 운동량 처럼 대응되는 값들이 존재하기 때문이다. 에너지 보존법칙은 모든 시간에 대해서 성립하고, 운동량 보존법칙은 모든 좌표에서 성립한다.
4원운동량 $P^\mu$는
$$P^\mu = m\gamma (\frac{}{}\frac{dx_0}{dt}, \frac{dx_1}{dt}, \frac{dx_2}{dt}, \frac{dx_3}{dt} ) $$
이고 이 때 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \ \beta = \nu /c, \ x_0 = ct$
따라서,
$$P^\mu = m\gamma(c,v_x,v_y,v_z) = (\frac{E}{c}, P_x, P_y, P_z)$$
로 표현할 수 있다.
Four vector처럼, $P^\mu$ 에서의 $c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ 를 구해보면
$$ \frac{E^2}{c^2} - P_x^2 - P_y^2- P_z^2 = \frac{m^2 c^2}{1-\beta^2} = - \frac{m^2(v_x^2+v_y^2+v_z^2}{1-\beta^2} = \frac{c^2 m^2 (1-\beta)^2}{1-\beta^2} = m^2 c^2 $$
$$\therefore \frac{E^2}{c^2} - p^2 = m^2 c^2 $$
$$ E_{rel} = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} $$
위 처럼 relativistic energy를 구해줄 수 있다.
