양자역학을 배우기에 앞서, 양자역학이 태동한 역사적인 배경을 가볍게 살펴보자.
19C말.
해석역학의 발전으로 당시 학자들은 물체의 운동을 이제 모두 알 수 있다고 생각했다.
그 유명한 뉴턴의 운동방정식을 가지고 말이다.
$$ \vec F= m \frac{(d^2 \vec r)}{(dt^2)}$$
이 때 m은 관성질량으로서, 비례상수이다.
운동방정식은 2차 미분 방정식이므로, 2개의 미정상수를 일반해로 포함한다.
따라서 초기위치와 초기속도를 알고 있다면, 미정상수 또한 결정 가능하다.
20C 초.
기존에 원자는 푸딩에 건포도가 박혀있는 '푸딩 모형'으로 생각되어져왔다. (톰슨)
그러나 Rutherford의 실험 - 금박지에 알파 입자를 쏘는 실험 - 을 통해 '푸딩 모형'이 옳지 않다는 것을 밝혀냈다.
입자들이 금박을 뚫지 못하고 휘거나, 심지어는 되돌아오는 현상을 해결하기 위해서 '행성 모델'을 도입한다.
-Model of the atom by Ernest Rutherford. Source : Wikimedia
그런데 이 행성모델에는 심각한 문제가 하나 있다.
이미 19C에 우리는 +q의 전하를 가지고 있는 입자가 가속운동을 하면 제동복사(에너지를 잃고 그 에너지에 해당하는 빛을 방출)하는 것을 알고 있었다.
행성 모델에서 전자는 등속원운동 - 즉, 가속운동을 하기 때문에 제동복사가 일어나야 하는 것이다!
계산을 해보면, $10^{-8}$ s< 안에 E를 잃고 원자핵과 충돌한다는, 원자가 붕괴한다는 결과가 나온다.
무언가 잘못 된 것이다.
다시, 19C.
열과 관련된 실험이 유행(?)이었던 당시, 'Blackbody'(흑체) 라는 빛을 흡수만 하는 가상의 물체에 대한 연구가 많이 이루어졌다. 이 흑체는 열평형 상태에 있을 때 radiation한다.
흑체가 radiation한다는 것은, black body의 어떤 성질 (여기서 자세히 짚고 넘어가지는 않겠다.) 때문에 빛의 형태로 에너지를 방출한다는 것이지, 흡수한 빛을 방출하는 것이 아니라는 점에 유의해야 한다.
아무튼, 이 때 방출하는 에너지는 온도의 4승 ($T^4$)에 비례하는데, 이는 Stefan-Boltzman's law라고 한다.
그런데 이 Stefan-Boltzman's law는 우리가 알고 있었던 고전적인 방법으로는, 설명이 되지 않아서 많은 과학자들이 골머리를 앓았다.
20C 초
Maxplanck는 1900년대 초, $E_n=nhw $(where $h$=planck constant, $n=1,2,3,...$) 식을 통해 이 해결되지 않았던 Stefan-Boltzman's law를 깨끗하게 설명할 수 있다고 발표했다.
즉, 에너지가 이산적이라면 이 현상이 설명된다는 것이다.
근데 간략한 광학의 역사 글에서 언급했듯이, Maxwell이 빛이 전자기파임을 증명함으로써 빛은 파장이라고 정리가 된 상태였기 때문에, Maxplanck의 주장 - 빛의 에너지가 이산적이다 - 은 바로 묻히게 된다.
생각해보라. 파장인데 빛의 에너지가 정수배로만 존재한다는건 말이 안된다.
1905년
조금 시간이 지나, Einstein은 1905년에 Brown운동, 상대성이론, 그리고 빛의 입자론을 지지하는 광전효과에 관한 논문 등 역사적인 논문 세편을 잇따라 발표한다.
그 중 광전효과에 관한 논문을 살펴보면, 파동에너지는 진폭의 제곱에 비례하는데, 아무리 강한 진폭의 빛을 가해도 반응이 없던 금속에서 주파수를 달리했더니 전자가 튀어나온 것을 확인한 것이다. 즉, 전자가 당구공처럼 행동한 것이다! 이를 아인슈타인은 묻혀있던 planck상수 $h$를 이용하여 설명했고, planck 상수는 다시 관심을 받기 시작한다.
1912년
Bohr는 전자가 일정영역에서 정상파처럼 움직인다고 생각하자고 한다. 갑자기 왜 이런 주장을 했을까?
그 이유는 아마도 플랑크 상수 $h=6.6\times10^-34 J\cdot s$의 단위 ($ J \cdot s=((kg\cdot m^2)/s^2)\cdot s $) 가
각 운동량 $ \vec L= \vec r \times \vec p$ 단위 ( $m \cdot kg \cdot m / s $) 와 같기 때문에, 각 운동량 또한 이산적일 것이라고 가정하고, 즉 $ L=nh $ 라고 가정하고 풀었더니 정상파 형태를 유도할 수 있었던 것 같다.
어쨋든 이를 통해서 보어는 원자핵을 도는 전자를 죽이지 않고, 수소원자의 스펙트럼을 성공적으로 설명할 수 있었다.
1924년
De Broglie는 그럼 입자 또한 파동처럼 움직일 수 있지 않을까? 라는 가설을 세운다. 바로 그 유명한 드브로이의 물질파는 다음과 같이 생겼다.
$$\lambda = h/p$$
그럼 왜 우리 일상에서는 입자를 파동처럼 느낄 수 없을까? 라는 질문을 할 수 있다.
김광현 선수가 운동장에서 야구공으로 캐치볼을 하고 있다고 가정해보자. 야구공의 무게를 0.3kg이라고 가정하고, 가볍게 40m/s로 포수 미트에 꽂았다고 치자. 이 때 야구공의 운동량은, $p=mv=0.3kg\times 40m/s$ 이다. 그런데 플랑크 상수가 위에서 얘기 했듯이 무려 $10^-34$ order를 가지고 있기 때문에, 물질파 $ \lambda = h/p \approx 5\times10^-33 m $ 이다. 이는 우리가 가지고 있는 가장 첨단의 장비로도 측정할 수 없는 양이다.
그러나 전자의 경우는 조금 다르다. 전자가 빛의 속도로 움직인다고 가정하면, $p_e \approx (9.1\times 10^-31 kg) \times (3\times 10^8 m/s)$ 이고, 따라서 $ \lambda \sim ~ \times 10^-11 m $ 이다.
빨간색 빛의 파장이 약 630nm임을 감안하면, 이는 충분히 관측할 수 있는 양이다. 즉, 미시세계에서는 입자가 파동처럼 행동하는 것이다!
1925년
1925년, Schrodinger의 Wave equation과 Hesienberg의 불확정성 원리가 탄생한다.
Hesinberg는 행렬로써, Schrodinger는 미분방정식으로써 완전히 새로운 역학체계를 구축한다.
후에 얘기지만, 아예 다른 것 같은 두 역학체계는 완전히 같은것임이 밝혀진다.
여기에 더불어 Dirac이 "The Fundamental Equation of Quantum Mechanics"라는 논문을 발표하고 독자적으로 transformation theory라는 양자역학 체계를 구축하면서, 비로서 양자역학의 시대가 시작된다.
이 부분에 대한 이야기는, 앞으로 공부하면서 차근차근 해보도록 하겠다.
참고로 양자역학이라는 멋진 이름은, 1924년 보른이 그의 논문 "양자역학에 관하여 Uber Quantenmechanik"에서 처음 사용되었다.
다음 시간부터는 재밌는 양자역학 이야기를 본격적으로 해보겠다.
참고문헌 :
1) 이강영, SPIN, 출판사 계단, 2018, pp318-319, 324-p326