Griffith의 Introduction to Electrodynamics 4th ed. (International ed.), Page 265의 Problem 58번 문제이다.
a) Find the ratio of its magnetic dipole moment to its angular momentum. (This is called the gyromagentic ratio or magnetomechanical ratio)
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Magnetic multipole expansion을 통해 얻은 Magnetic dipole vector potential $\vec{A}_{dip}$ 는 magnetic dipole moment $\mu$ 에 의해서 다음과 같이 표현된다.
$$ \vec{A}_{dip} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{\mu} \times \hat{r}}{r^2}$$
where
$$ \vec{\mu} \equiv \vec{I} \int d\vec{a} $$
따라서 위 figure 에서 magnetic dipole moment는
$$ \vec{\mu} = \vec{I} \cdot \pi r^2 $$
그런데 전류는 단위 시간당 주어진 지점을 통과하는 전하의 양으로 정의된다. 따라서 우리 경우 전류는
$$ \vec{I} = \lambda * \vec{v} = \frac{Q}{2\pi R} * \vec{v} = \frac{Q}{2\pi / \omega }$$
그러므로 magnetic dipole moment는
$$ \vec{\mu} = \frac{1}{2} Q\omega r^2$$
한편 Angualr momentum $\vec{L}$ 의 경우,
$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = M r^2 \omega$$
따라서 mangetic dipole moemnt와 Angular momentum의 ratio는
$$ \frac{\vec{\mu}}{\vec{L}} = \frac{1}{2} \frac{Q\omega r^2}{M r^2 \omega} = \frac{Q}{2M}$$
임을 구할 수 있다. 이는 나중에 양자역학 등의 과목에서 아주 자주 사용한다. 예를 들어 일정한 자기장에서 angular momentum과 자기장의 interaction을 나타내는 Hamiltionian은 다음과 같이 쓰인다.
$$ \hat{H}_{int} = -\mu \cdot \vec{B} = -(\mu_L + -\mu_S) \cdot \vec{B} = -({\frac{Q}{2M}\vec{L}+g \frac{Q}{2M} \vec{S}})\cdot \vec{B}$$
이 게시글에서는 자세히 다루지 않지만, 이 interaction 때문에, 자기장이 걸린 방향을 축으로 전자는 세차운동을 한다. 이를 Larmor precession이라고 한다.
참고로 Spin angular momentum 앞에 붙은 $g$도 gyromagnetic ratio라고 부른다 (..) 전자의 경우 대략 2.0023193043617(15) 정도로 알려져있다.1
b) What is the gyromagnetic ratio for a uniform spinning sphere?
위에 구한 ring의 gyromagnetic ratio가 r에 의존하지 않기 때문에, Sphere에서도 동일하다.