위와 같은 box에 N개의 isotropic한 gas molecules이 있는 상황을 가정해보자. 이상기체 방정식은 잘 알려져 있다.
$$ PV = nRT $$ 이 때 $n$은 기체의 몰수이고, $n=\frac{N}{N_A} $ 이다. ($N_A = 6.0225 \times 10^{23}$ = avogadro number, $N$은 기체 분자수)
1mole의 기체(즉, $n=1$)에 대해서, $ PV=RT$ 이다. 이 때 압력 $P = \frac{F}{A} $이다. 그림에서 설명하는 것 처럼, 면적 A에 작용하는 z축으로의 분자의 모멘텀 변화량 $\Delta p = -2mv_z$ 이다. 따라서
$$ P = \frac{force}{Area} = \frac{\frac{\Delta p}{\Delta t}}{A} $$
이 때 $\Delta t = \frac{L}{v_z} $이고, 분자의 반은 +z방향으로 운동하므로
$$ P = \frac{2mv_z}{A\Delta t}\frac{N}{2} = \frac{2mv_z}{A\frac{L}{v_z}} \cdot \frac{N}{2} = mv_{z}^2 \frac{N}{AL} $$ 그런데 $A\cdot L = V$(체적) 이므로 다음과 같은 결론을 얻는다.
$$ \therefore P = \frac{N}{V} mv_z^2 $$ 이제 $ \frac{N}{V} mv_z^2 $ 에 대해 Maxwell-boltzman distribution을 사용해 average를 구해주자.
$$ P = \frac{N}{V} \int mv_z^2 f(\vec v)d^3v $$ 여기서 우리가 고려하는 상자속 기체는 isotropic하므로 (방향성이 없으므로) $v_z^2 = \frac{1}{3}v^2 $ 이다. 또, 3차원 공간에서 기체분자의 평균운동량은 $\frac{3}{2}k_B T$ 이므로,(증명)$$ P = \frac{N}{V} \int mv_z^2 f(\vec v)d^3v = \frac{N}{V} \frac{1}{3} 3k_B T = \frac{N}{V}k_BT $$ 혹은,
$$ PV = Nk_BT = nRT$$이를 equation of state of ideal gas - 이상기체 방정식이라고 부른다. 위 식에서
$$ Nk_B = nR $$ 이므로 gas constant $R$ 값은 다음과 같이 구할 수 있다. $$ \therefore R = N_A k_B = 8.3143 J/K\cdot mole \quad (\frac{N}{N_A} = n)$$
