Gamma Function (감마 함수)

Gamma Function은 여러가지 정의를 가지고 있다. 

1. Euler의 정의
   1. 주로 확률론에서 많이 사용한다. $$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt \quad (Re \ Z>0)$$
   2. 주로 물리에서 사용한다. 즉, 우리가 주로 사용할 형태이다. $$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t^2} t^{2z-1} dt \quad (Re \ Z>0)$$
   3. 이런 것도 있다. 잘 사용하지는 않는다. $$\Gamma(z) = \int_0^1 [ln(\frac{1}{t})]^{z-1}dt \quad (Re \ Z>0)$$
2. Gauss의 정의
   1. Infinite Limit $$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^{z}}{z(z+1)(z+n)}$$
3. Weierstrass의 정의
   1. Infinite Product $$\frac{1}{\Gamma(z)} = Ze^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{z}{n}) e^{-\frac{z}{n}} \\ where \ \gamma = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - ln(n+1) \approx 0.5772157... \ : Euler \ Constant$$

먼저 Euler의 첫 번째 정의 $\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt \quad (Re \ Z>0)$ 에 대해 Integrate by parts를 수행하면

$$\Gamma(z) = \frac{1}{z} t^{z}e^{-t} |_0^\infty + \int_0^\infty \frac{1}{z} t^{z} e^{-t}dt = \frac{1}{z} \int_0^{\infty} e^{-t} t^{z} dt$$

이 때 $\frac{1}{z} \int_0^{\infty} e^{-t} t^{z} dt$ 에서 $t^{z} = t^{(z+1)-1}$ 로 쓸 수 있고, $\int_0^{\infty} e^{-t} t^{(z+1)-1} dt = \Gamma(z+1)$ 이다.

$$\therefore \Gamma(z) = \frac{1}{z}\Gamma(z+1) \\ or \ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$$

예시로써, $\Gamma(1)$ 과 $\Gamma(2), \Gamma(3), \Gamma(4)$를 구해보자.

$$\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}t^{1-1}dt = \int_0^\infty e^{-t}dt = 0+1 = 1$$

$$\Gamma(2) = 1\Gamma(1) = 1$$

$$\Gamma(3) = 2\Gamma(2) = 2\Gamma(1) = 2! = 2$$

$$\Gamma(4) = 3\Gamma(3) = 3! = 6$$

즉, $n=0,1,2,3, ...$에 대해서$\Gamma(n) = n!$ 임을 알 수 있다. ($\Gamma(0) = 0! =1$)

그렇다면, $\Gamma (\frac{1}{2})$ 는 어떻게 정의할 수 있을까? 바로 오일러의 두번째 정의 $\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t^2} t^{2z-1} dt \quad (Re \ Z>0)$ 를 이용한다.

$$\Gamma(\frac{1}{2}) = 2\int_0^\infty e^{-t^2} t^{2\frac{1}{2}-1} dt = 2\int_0^\infty e^{-t^2} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt$$ $$Let \ \Gamma(\frac{1}{2}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = I$$

$$I^2 = (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \\ = \iint_{-\infty}^{\infty} e^-{x^2+y^2} dxdy = \iint e^{r^2} rdrd\theta \\ = 2 \pi \int_0^\infty e^{-r^2} rdr = 2 \pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

$$\therefore \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$$

Gamma Function은 Error function을 정의할 때, Maxwell Boltzmann distribution, Fractional drivations, Bessel function 등 물리 현상을 기술하는 다양한 식에서 유용하게 사용된다.

더 자세한 예시는 다음에 정리해본다.