양자정보학 게시글을 더 포스팅 하기 전에, 기본적인 부분을 복습할 겸 정리해보려 한다.
우리가 사는 계(system)는, 주변 환경(environment)와 정보, 또는 에너지를 교환할 수 있는 열린(open) 양자계이다. 학부과정 양자역학에서는 기본적으로 닫힌(closed)계를 가정하고 양자현상을 기술한다. 그래서 실제 우리 양자계에서 주위 환경과 상호작용하며 나타나는 자연적인 결 잃음(Decoherence)을 설명하지 못한다. 우리가 사는 열린계를 쉽게 다루는 방법 중 하나는, 닫힌계(closed system)의 일부라고 생각하는 것이다. 이를테면, 닫힌 양자계의 법칙을 따르는 우주의 일부라고 말이다. 그리고 우리가 관심있는 열린계를 제외한 나머지 우주를 관측하거나 다룰 수 없는 environment로 부르는 것이다.
먼저 닫힌 양자계를 표현할 때, 몇 가지 짚고 넘어갈 사항이 있다.
1. 상태(State)는 complex Hilbert space에 있다. Hilbert space는 내적을 포함하는 벡터 공간이다. 앞으로 (아마도) 내가 블로그에서 다룰 양자계는 (그 차원이 아주 클 지라도) 유한 차원의 벡터 공간이다.
2. Dirac notation을 사용하여 벡터를 bracket으로 표기할 때, Hilbert space의 두 벡터의 내적을 거꾸로 하면 complex conjugate하는 것이 된다.
3. 복수의 이유로, 벡터는 규격화(normalization)하여 사용한다. 벡터가 규격화 되었다는 것은 $\sqrt{<\psi|\psi>} = | |\psi> | = 1$ 이라는 뜻이다.
4. 우리가 다루는 것이 '벡터' 이기 때문에, 상대적인 phase 차이를 주의해야 한다. State vector에 phase를 그냥 곱하는 것은 물리적인 효과가 없다. 하지만, 두 벡터가 중첩되어 있는 상태에서 phase를 바꾸는 것은 물리적인 의미가 있다.
5. $<\psi | \phi>$는 $<\psi|$ 가 $|\phi>$를 둘의 내적인 complex number로 선형 사상(linear map)하는 것으로 이해할 수 있다.
6. Observable은 수학적으로 self-adjoint한(hermitian) linear operator이다. 즉, $A = A^\dagger$
7. Observable은 Hilbert space에서 diagonalize될 수 있다.
8. Observalbe에 관측을 하면 발생하는 결과에 대한 확률을 얻을 수 있는데 (확률진폭의 제곱), 이는 Born rule을 따른다.
9. 관측 이후에는 eigenvalue가 관측된 eigenspace로 사상된다. 즉, $|\psi> \rightarrow \frac{E_n |\psi>}{|E_n |\psi>|}$
10. 측정 이후에 곧바로 다시 측정하면, 처음 얻었던 값을 얻는다.
11. 측정을 통해 얻을 수 있는 결과들의 기댓값은 $<A> = \sum_n a_n Prob(a_n) = <\psi|A|\psi>$
12. 양자 상태의 시간에 따른 변화는 Time-dependent Schrodinger equation으로 결정된다. State의 시간미분은 Hamiltonian operator $H$ 로 결정된다. $\frac{d}{dt} |\psi(t)> = iH(t) |\psi(t)>$
13. Hamiltonian operator 역시 hermitian이고, 일반적으로 시간에 의존한다.
14. 우리는 infinitesimal unitary operators의 연속적인 시퀀스로 양자상태의 시간 변화 진행과정을 이해할 수 있다. 즉,
$$|\psi(t+dt)> = (I-iH(t)dt)|\psi(t)> = e^{-iH(t)dt}|\psi(t)> = U(t+dt,t)|\psi(t)>$$
15. 마지막으로 각각의 양자계 $A$와 $B$는 Tensor product로 합칠 수 있다.
자 이제 본론이다.
1. Qubit
우리가 생각할 수 있는 가장 간단한 시스템은 1차원 Hilbert system인데 이는 너무 간단해서 trivial하고, 2차원 Hilbert system에서 기술되는 계를 Qubit(Quantum-bit)이라고 부른다. Qubit은 가장 간단한 정보 단위이며, 2준위 양자계라고 부른다. 참고로, 3준위 계를 Qutrit, d준위 계를 Qudit (혹은 n준위계 Qunit) 라고 부른다.
Qubit의 경우 Hilbert space를 직교규격화된(orthonormal한) basis vector $|0>$과 $|1>$에 의해 span 된다고도 할 수 있다. 즉, Qubit의 임의 상태를 다음과 같이 표시할 수 있다.
$$|\psi> = \alpha|0> + \beta|1> \\ (where \ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1) $$
Qubit는 2준위 양자계이므로, 두 준위로 기술될 수 있다면 Qubit으로 사용할 수 있다. 예를 들어 전자의 업스핀과 다운스핀, 광자의 수직편광과 수평편광, 2준위 원자, 광자수 큐빗의 진공상태와 단일광자상태 등이 있다.
2. Pauli operator
Qubit의 경우에 linear operator를 2x2 matrix로 나타낼 수 있고, 이 때 기본적인 basis를 Pauli operator라고 부른다.
$$I = \pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & 1 \cr} , \ \sigma_1 = \pmatrix{ 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr}, \ \sigma_2 = \pmatrix{ 0 & -i \cr i & 0 \cr}, \ \sigma_3 = \pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} $$
예를 들어, 아까 위에서 살펴본 임의의 qubit 상태 $|\psi> = \alpha|0> + \beta|1>$ 에 $\sigma_3$ 측정을 해보자. 그러면, $Prob(|0>) = |a|^2, \ Prob(|1>) = |b|^2$ 임을 알 수 있다.
Pauli operator $\sigma_1, \sigma_2 , \sigma_3$이 모두 Hermitian operator 이므로, 이들의 선형결합 역시 Observable이다.
3. Bloch spehre
Bloch sphere는 일반화된 qubit state를 시각적으로 표기하는 유용한 방법이다. Bloch spehre에서 |0>과 |1>은 각각 Z축을 따라 North pole과 South pole에 위치하고, 따라서 일반적인 상태를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ |\psi(\theta,\phi)> = e^{-i\phi/2}cos(\theta/2) |0> + e^{i\phi/2} sin(\theta/2) |1> \\ where \ \theta \in [0,\pi], \phi \in [0,2\pi) $$
모든 양자상태는 Bloch spehre의 한 점에 대응된다. 이 때 Bloch sphere의 표면에 대응하는 양자상태들을 순수 상태 (Pure state), 내부에 대응하는 양자상태들을 혼합상태(mixed state)라고 한다. *주의* 혼합상태와 중첩상태는 다르다.
Pauli operator의 선형결합 역시 observable이라고 위에서 언급했다. 이 새로운 observable의 eigenvalue가 $+1 \ or -1$ 이라면, unit vector가 되는 $n_1, n_2, n_3$ 로 구성되는 길이가 1인 3개의 component vector를 잡을 수 있고, 이를 방위각과 고각으로 parameter화 할 수 있다.
$\hat{n} = (sin\theta cos\phi, \ sin\theta sin\phi, \ cos \theta )$ 라고 하자. 상태 $|\psi(\theta,\phi)>$ 는 observable $\hat{n} \cdot \sigma = n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3 $의 eigenvalue 1을 갖는 eigenstate이다. 우리가 z축을 따라서, 즉 $\sigma_3$을 측정할 수도 있지만, 다른 축을 따라서도 측정을 할 수 있다. 적절한 observable을 선택한다면, 실제로 state는 1의 eigenvalue를 갖는 eigenstate가 된다.
예를 들어, $|X> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|1>+|0>)$ 이라고 한다면, 이 $|X>$ 는 $\sigma_1$의 eigenstate이고, eigenvalue는 항상 1임을 쉽게 구할 수 있다. $|-X> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|1>-|0>)$ 에 대해서는 $\sigma_1$을 측정하면 eigenvalue가 항상 -1이 나올 것이다. 그런데 이 $|X>$ 혹은 $|-X>$ 를 Z basis로, 즉 $\sigma_3$ 로 측정하면 $\frac{1}{2}$ 확률의 균일한 확률 분포가 나온다. 그러므로, $|1> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|X>+|-X>)$ 로 표현할 수 있다.
Pauli operator $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$은 Bloch sphere에서 각각 $x$축, $y$축, $z$축을 축으로하는 $180^{\circ}$ 의 회전에 해당한다. 각각의 Observable에 대한 기대값은 아래와 같이 구할 수 있다.
$$ <\sigma_1> = <\psi|\sigma_1|\psi> = sin\theta cos\phi \\ <\sigma_2> = <\psi|\sigma_2|psi> = sin\theta sin\phi \\ <\sigma_3> = <\psi|\sigma_3|\psi> = cos \theta $$
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