이번 게시글부터는 Geometrical Optics 라는 이름을 달고 기하 광학에 대해서 알아볼 것이다. 기하광학에서는 빛의 회절이 일어나지 않는다고 가정하고, 빛을 선다발로 생각해 광학계, 즉 렌즈와 거울 전 후에서 빛의 경로 및 그로 인한 이미지 생성을 다루는 학문이다. 빛이 선다발의 한 점에서 나오거나 한 점으로 모일 때, 그 점을 초점(focus)라고 하며, 한 점으로 나온 선다발을 광학계를 통해 다른 한 점으로 모으면 image가 생성된다.
기하광학 시리즈 첫번째로, 렌즈에 대해 알아본다. 렌즈는 굴절 현상을 이용해 파면 진행경로를 변형시키고, 빛의 공간적(spatial) 에너지 분포를 바꾸는 수동(passive) 광소자이다.
빛이 렌즈을 통과하는 모습을 상상해보자. 광원에서 나온 평행광이 굴곡진 매질면을 통과할 때, 통과한 이후에도 평행광이 되어야 하므로 같은 파면을 이뤄야한다. 즉, 광경로가 일정해야 한다.
$$ n_1 \overline{F_1A} + n_t \overline{AD} = constant $$
어딘가 익숙한 느낌이 드는가? 그렇다. 이 식은 바로 이심률 $e= n_t / n_i $인 쌍곡선 혹은 타원면에 대한 방정식이다. 위 식을 만족하는 면을 비구면 (aspherical surface)라고 하고, 렌즈가 비구면을 가지고 있을 때 이 렌즈를 비구면렌즈라고 한다. 바꾸어 말하면 이상적인 렌즈는 비구면을 가지고 있어야 한다. 하지만 비구면 렌즈는 제작하기 매우 까다롭다. 특히 연마과정에서 구면렌즈에 비해 비구면렌즈는 조금의 틀어짐도 허용되지 않기 때문에 공임비가 많이 들어가고, molded방식의 경우에도 표면이 매우 좋지는 못하기 때문에 우리는 주로 구면렌즈를 사용한다.
구면렌즈의 경우 ray가 입사하는 위치에 따라 광경로차가 발생하기 때문에 수차 (aberration)이 발생한다. 수차에 관해서는 다른 게시글에서 다룰 예정이다. 수차가 발생하긴 하지만, 구면렌즈의 광 중심축에 가까운 면은 비구면 렌즈의 곡면과 크게 차이가 나지 않기 때문에, 이를 이용해 근축근사(partial approximation)하여 렌즈에 대한 공식을 얻을 수 있다. 근축근사를 사용해 구면을 갖는 광소자들을 Gaussian Optics라고 한다.
다음 그림을 보자.
위 그림에서 광경로 (OPL)는,
$$ OPL = n_1 l_o + n_2 l_i $$
이 때 삼각형 SAC에서
$$ l_0 = [R^2 + (s_o + R)^2 - 2R(s_o + R) cos\varphi]^{1/2}$$
그리고 삼각형 ACP에서
$$ l_i = [R^2 + (s_i - R)^2 + 2R(s_i-R)cos\varphi]^{1/2}$$
OPL에 대입해서 쓰면,
$$ OPL = n_1[R^2 + (s_o + R)^2 - 2R(s_o + R) cos\varphi]^{1/2} + n_2[R^2 + (s_i - R)^2 + 2R(s_i-R)cos\varphi]^{1/2}$$
Fermat's Principle에 따라 $d(OPL)/d\varphi = 0$ 이여야 하므로,
$$ \frac{n_1R(s_o+R)sin\varphi}{2l_0} - \frac{n_2R(s_i-R)sin\varphi}{2l_i} = 0 $$
정리하면,
$$ \frac{n_1}{l_o} + \frac{n_2}{l_i} = \frac{1}{R} (\frac{n_2s_i}{l_i}-\frac{n_1s_o}{l_o}) $$
이 때 작은 각도에서 $\cos \varphi = 1$ 이고, 따라서 $l_o \approx s_o, \ l_i \approx s_i$ 라는 결론을 얻을 수 있다. 어림을 대입해서 정리하면,
$$ partial \ approximation \ : \frac{n_1}{S_o} + \frac{n_2}{s_i} = \frac{n_2 - n_1}{ R }$$
근축근사 식을 얻을 수 있다.
곡면의 모양, 상의 위치 및 방향에 따라 $s_i, s_i, R, f_o, f_i$ 등의 값은 음의 값을 가질 수 있다. 양과 음을 나누는 기준은 꼭지점 V가 된다.
| 표 1. Sign convention for spherical refracting surfaces and Thin lenses | |
| $s_o, \ f_o$ | + left of $V$ |
| $s_i$ | + left of $F_o$ |
| #$$ | + right of $V$ |
| $y_o$ | +right of $F_i$ |
| $y_i$ | + if $C$ is right of $V$ |
| $M_T$ | + above optical axis |
이 때 $M_T \equiv \frac{y_i}{y_o} = - \frac{s_i}{s_o} $ 로 정의하며 횡배율 이라고 한다. 상의 크기 대비 물체의 크기를 나타낸다. 횡배율이 양이면 상이 바로 서있고, 음이면 상이 거꾸로 서있는 것을 의미하며 절대값이 1보다 크면 상의 크기가 물체의 크기보다 큰 것, 절대값이 1보다 작으면 상의 크기가 더 작다는 것을 의미한다. 3차원 물체의 경우 렌즈에 의해 축방향으로도 확대 또는 축소가 되는데, 이를 종배율 $M_L \equiv \frac{dx_i}{dx_o} = -M_T ^2$으로 정의한다. 종배율은 항상 0보다 작고, 따라서 렌즈에 의해 맺히는 상의 방향은 항상 반대이다.
근축근사 식에서, $s_i \to \infty$ 일 때 $s_o$의 위치를 first focal length 혹은 object focal length $f_o$, 라고 한다.
$$ f_o = \frac{n_1}{n_2-n_1}R$$
혹은 $s_o \to \infty $ 일 때 $s_i$의 위치를 second focal length 혹은 image focal length $f_i$ 라고 한다.
$$ f_i = \frac{n_2}{n_2-n_1}R $$
우리가 사용하는 렌즈는 2개 이상의 굴절면으로 이루어져 있다. 렌즈의 곡면을 이루는 매질의 가운데 부분 두께가 두꺼우면 볼록렌즈, 얇으면 오목렌즈라고 부른다( $f>0 \to $ convex, $f<0 \to $concave). 렌즈를 사용할 때 상이 맺히는 위치는 근축근사식을 두번 적용한 Thin lens equation을 통해 얻을 수 있다. 이는 얇은 렌즈에서 렌즈 안쪽의 굴절효과를 무시할 수 있기 때문이다.
$$ Thin \ lens \ equation \quad \frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}, \quad \frac{1}{f} = (n_1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) $$
앞서 알아본 근축근사식과 마찬가지로 각 변수는 음의 값을 가질 수 있다. 각 변수의 convention에 따른 의미는 아래 표와 같다.
| 표 2. 각 변수의 부호에 따른 의미 | ||
| + | - | |
| $s_o$ | 실물 | 허물 |
| $s_i$ | 실상 | 허상 |
| $f$ | Convex | Concave |
실제 복잡한 광학계에서 Thin-lens equation을 계산하기가 생각보다 까다로운 경우도 있는데, 그럴 경우 작도를 통해 해결하기도 한다. Ray에 관한 작도 규칙을 rule-of-thumb 라고 부르며, 2개 이상 결합하면 물체에 대한 상을 작도할 수 있다.
i . 볼록렌즈에서
1. 빛이 ray가 렌즈의 중심을 지나면 그 ray는 직진한다.
2. 빛의 ray가 광축과 평행하게 지나면 렌즈를 지난 후 초점을 지나간다.
3. 빛의 ray가 전초점을 지나면 렌즈를 지난 후 광축에 평행하게 지나간다.
ii . 오목렌즈에서
1. 빛의 ray가 렌즈의 중심을 지나면 그 ray는 직진한다.
2. 빛의 ray가 후초점을 향해 진행하면 렌즈를 지난 후 광축에 평행하게 진행한다.
3. 빛의 ray가 광축에 평행하게 지나면 렌즈를 지난 후 전초점에서 빛이 나온 것 처럼 진행한다.
4. 빛의 ray가 전초점을 지나게 되면 그 ray는 렌즈를 지난 후 광축에 평행하게 진행한다.
초점 대비 물체의 위치에 따라 상의 종류와 위치 및 확대율을 정리해보면 다음과 같다.
2개 이상의 렌즈로 구성된 광학계에서는 두 렌즈를 하나로 생각하고 back focal length와 front focal length를 정의한다.
평행광이 들어와서 렌즈 조합을 거쳐 광축과 만나는 점을 back focal point, 렌즈 조합을 거쳐 평행광이 되면 첫번째 렌즈 앞에서 빔이 광축과 만나는 점을 front focal point라고 한다. 이때 back focal point와 두번째 렌즈로부터 떨어진 거리를 back focal length(b.f.l.)로 정의하고, front focal point가 첫번째 렌즈로부터 떨어진 거리를 front focal length(f.f.l.)라고 한다. 각각 다음과 같이 정의된다.
$$ b.f.l = \frac{f_2d-f_1)}{d-(f_1+f_2)} \\ f.f.l = \frac{f_1(d-f_2)}{d-(f_1+f_2)} $$
따라서 $d=0$에 가까워지면, 즉 두 렌즈가 접촉해있으면 b.f.l.과 f.f.l.이 같아진다. 그리고 그 때 유효 초점 거리는
$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} $$
여러개의 렌즈가 n개 붙어있다면 그 때의 유효 초점 거리 $f$는
$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3} + \frac{1}{f_4}+ \frac{1}{f_5} +\cdots + \frac{1}{f_n} $$
이 된다. 위 그림의 광학계에서 상의 위치는
$$ s_{i2} = \frac{f_{2d}-f_2s_{01}f_1/(s_{01}-f_1)}{d-f_2-s{01}f_1/(s_{01}-f_1)} $$
배율은
$$ M_T = M_{T1}M_{T2} = \frac{f_1s_{i2}}{d(s_{01}-f_1)-s_{01}f_1} $$
이다.
한편 조금 더 일반적인 렌즈 - 두께가 있는 렌즈에서는 렌즈 안에서 빛의 굴절현상도 고려해주어야 한다. 조금 더 일반적인 렌즈에서 유효 초점 거리는 다음과 같이 주어진다.
$$ \frac{1}{f} = (n_1-1)[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n_1-1)d_1}{n_1R_1R_2}] $$
하지만 렌즈가 수 십개 혹은 그 이상되는 복잡한 광학계에서 일일이 손으로 유효초점거리를 계산하기란 매우 어렵다. 또 이런 상황에서는 작도를 통해 대략적으로 풀어내기도 쉽지 않을 것이다. 이런 복잡한 계산은 행렬로 바꾸어 계산할 수 있고, 이를 주로 광학 소프트웨어를 이용해 수행한다.
Ray의 진행은 Snell's law를 만족한다. 따라서 근축근사를 통해 Refraction equation과 Transfer equation을 구할 수 있고, 이 두 1차식을 행렬로 표현한 Refract Matrix와 Transfer Matrix를 구할 수 있다. 이를 조합하면 모든 광학계에서 Ray의 진행을 구할 수 있다. 다음 게시글에서 설명할 거울의 경우에도 마찬가지로 행렬식으로 풀어낼 수 있고, 이런 행렬식을 통해 컴퓨터 소프트웨어에서 쉽게 처리할 수 있다.
