지난 시간에 Fresnel Equations를 모두 유도했고, 이제 이번 게시글에서는 Fresnel equation의 의미를 알아본다.
Fresnel equation을 적어보면,
이다. 여기에 Snell's law를 적용시켜서 정리하면,
다음과 같이 정리된다. 물론 수직입사시에는 특정 plane of incidence를 잡을 수 없으므로, 수직/ 수평 성분의 구분이 없다.
우리가 구한 각각의 Amplitude coefficient에 대해서 입사각 별로 graph를 그려볼 수 있다.
그래프의 특징을 하나씩 살펴보자.
먼저 $n_i < n_t$의 경우 가장 먼저 반사계수가 음수인 것이 눈에 띈다. 이는 입사할 때와 반사할 때, 전기장의 위상이 180도 만큼 차이나기 때문이다.
두 번째로, 평행성분의 반사계수가 특정각도 $\theta_p$에서 0이 되어 편광되는 것을 확인할 수 있다. 이 $\theta_p$ 를 polarization angle 혹은 Brewster angle이라고 부른다. $r_{\parallel} = \frac{tan(\theta_i-\theta_t)}{tan(\theta_i+\theta_t)} = 0 $ 이 되어야 하기 때문에, $\theta_i + \theta_t = 90^{\circ} $가 되어야 한다. 거꾸로 이야기 하면, 입사각과 굴절각의 합이 90도가 될 때의 입사각이 바로 Brewster angle이다. 정성적으로 편광이 일어나는 이유는, 경계면에서 dipole radiation의 수직방향이 되어 반사법칙은 만족하지만 수평방향으로는 방출되는 에너지가 없기 때문이다.
세번째로, 굴절률에 관계없이 입사각이 $90^{\circ}$에 가까워지면 반사계수가 1이 된다는 것이다. 이를 Grazing incidence라고 한다. X-ray나 반도체 EUV공정에서 이를 활용해 아주 짧은 파장의 빛을 멀리까지 전송하는데 활용한다.
네번째로, $n_i > n_t$의 경우, $\theta_c$ 이상에서 반사계수가 1이다. Snell's law에 의해 반사각이 90도 이상 될 때, 투과되는 빛은 존재하지 않고 모든 빛이 반사된다. 즉, 전반사가 일어난다. Snell's law $n_1sin\theta_i = n_2sin\theta_t $ 에서 $\theta_t = 90^{\circ}$ 이므로, $sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} $ 이다. 이 현상은 모든 전자기파에서 동일하게 일어나며, waveguide의 기저 원리가 된다. 전반사는 광통신에 주로 쓰인다. 물 속에서는 하늘이 둥글게 보이고, 그 바깥은 전반사 되어 바닥이 보이는데, 이를 Snell's window라고 한다.
마지막으로, $n_i < n_t$ 일 때의 반사는 위상관계가 항상 90도가 된다는 점이다. 다시 말해 Internal reflection과 external reflection의 반사계수의 곱은 음수가 되고, 위상차이는 $\pi$만큼 있다. 이는 나중에 간섭현상에서 중요한 역할을 한다.
Fresnel equations는 반사 혹은 굴절되는 전기장에 관한 관계식이다. 그런데 우리는 전기장을 보지 못하고, 에너지를 본다. 따라서 경계면에서의 Poynting vector를 고려해주어야 한다.
입사되는 빛의 에너지는 반사되고 굴절되는 빛의 에너지의 합과 같아야 한다. 면적이 A인 경계면에서 입사, 반사, 굴절되는 빛의 세기가 각각 $I_i,I_r,I_t$라고 한다면, 각각 빛의 세기는 $I_iAcos\theta_t, I_rAcos\theta_r,I_tAcos\theta_t$ 가 된다. 에너지 보존법칙을 적용하여 정리하면,
$$$ I_iAcos\theta_t = I_rAcos\theta_r + I_tAcos\theta_t $ $$
이 때 입사되는 빛의 세기 대비 반사되는 빛의 세기 비율을 반사율 ℝ이라고 정의하고, 입사되는 빛의 세기 대비 굴절되는 빛의 세기 비율을 투과율 𝕋라고 정의하면,
$$ℝ = \frac{I_r}{I_i}= (\frac{E_{0r}}{E_{0i}})^2 = r^2 \\ 𝕋 = \frac{I_t}{I_i}=\frac{n_t cos\theta_t}{n_i cos\theta_i}t^2 \\ \therefore ℝ + 𝕋 = 1$$
반사율과 투과율의 관계가 다른 이유는, 굴절될 때 빔 단면의 크기가 달라지기 때문이다. 더불어 ℝ + 𝕋 = 1은 수직, 수평 각각의 성분으로도 독립적으로 성립한다.
일반적으로 유리 표면에 수 입사시 Fresnel 반사율은 4%정도 이다. 반사되는 물질의 굴절률이 클 수록 반사율은 커지고, 또 반사면의 수가 많을수록 반사율이 커진다.
