1657년, Fermat은 Principle of least time - 최소시간의 원리 라는 기념비적인 원리를 발표한다. 최소 시간의 원리는 말 그대로 공간적으로 떨어진 두 점을 빛이 지나갈 때, 빛의 경로는 가장 짧은 시간이 걸리는 경로로 진행한다는 것이다. 사실 Fermat 이전에도 이와 비슷한 시도가 있었다. 1세기경 고대 이집트 알렉산드리아에 살았던 헤론(Hero)은 두 지점을 지나가는 빛이 최단 거리의 경로를 통과하여 지나간다고 했다. 그는 이를 이용해 반사법칙을 설명했지만, 굴절법칙은 설명하지 못했다. 하지만 Fermat은 최소 시간의 원리를 이용해 빛의 굴절법칙 또한 증명해냈다.
위 그림을 보자. 그림에서 빛은 각각 매질의 굴절률이 $n_1$과 $n_2$인 두 지점 A와 B를 굴절하며 통과하고 있다. 빛이 각 매질에서 $v_1$과 $v_2$의 속도로 진행한다고 하자. 그렇다면 총 걸린시간 $t$는
$$ t = \frac{\overline {AO}}{v_1} + \frac{\overline{OB}}{v_2} $$
이 때 $\overline{AO} = \sqrt{x^2+h_1 ^2}, \quad \overline{OB} = \sqrt{(l-x)^2 + h_2 ^2}$ 이므로, 이를 대입하면
$$ t(x) = \frac{\sqrt{x^2+h_1 ^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(l-x)^2+h_2 ^2}}{v_2} $$
여기에 Fermat's principle을 적용하면 $t(x)$ 가 최소가 되어야 하므로 $\frac{dt(x)}{dx} = 0$이 되어야 한다. 따라서,
$$\frac{dt(x)}{dx} = \frac{x}{v_1(\sqrt{x^2 + h_1 ^2})} - \frac{l-x}{v_2(\sqrt{(l-x)^2+h_2 ^2})} = 0$$
그림에서 알 수 있듯, $\frac{x}{(\sqrt{x^2 + h_1 ^2})} $ 는 $sin(\theta_i)$ 이고, $\frac{l-x}{(\sqrt{(l-x)^2}+h_2 ^2)}$ 은 $sin (\theta_t) $이다. 최종적으로,
$$ \frac{sin(\theta_i)}{v_1} = \frac{sin(\theta_t)}{v_2} $$
이렇게 정리할 수 있고, 위 식은 바로 우리가 잘 알고 있는 Snell's law. 즉, 굴절 법칙이다.
반사법칙도 같은 방법으로 증명할 수 있다.
동일하게 빛이 경로를 따라 이동한 시간 $t(x)$는
$$ t(x) = \frac{\sqrt{h^2+x^2}}{v} + \frac{\sqrt{h^2+(l-x)^2}}{v} $$
눈치 챘다 싶이, 같은 매질에서 이동하고 있으므로 속도는 v로 동일하다. 마찬가지로 최소 시간의 원리를 적용하면,
$$ \frac{dt(x)}{dx} = \frac{x}{v\sqrt{x^2+h^2}} - \frac{l-x}{v\sqrt{(l-x)^2+h^2}} = 0 \\ \frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}} = \frac{l-x}{\sqrt{(l-x)^2+h^2}} \\ sin \theta_i = sin \theta_r$$
우리가 잘 알고있는 반사법칙이다.
이 Fermat's principle을 일반화하여 빛이 굴절율이 $n_i$인 매질을 거리 $s_i$만큼 지나갈 때 걸리는 시간을
$$ t= \frac{1}{c} \sum_{i=1}^{m} n_i s_i $$
로 나타낼 수 있고, 이 때 $n_i s_i$를 OPL (Optical path length)로 정의한다. 만약 굴절율이 비균질 매질일 경우에 OPL은 다음과 같다.
$$OPL = \int_S^P n(s) ds$$
한편, 최근 현대물리에서는 Fermat's principle에서 최소시간 뿐만 아니라 최대시간까지 포함시켜 극값을 가지는 것으로 해석한다. 타원의 한 초점에서 파동을 발생시키면 반대쪽 초점에서 구면파가 발생하는 것, 등대의 랜턴 등이 이 원리를 사용한다.
여담으로 헤밀턴(Hamilton)은 1834년과 1835년 두 번에 걸친 논문으로 "least action principle - 최소 작용의 원리"를 발표했고, 이를 통해 모든 역학계에 적용되는 최소 원리를 정립했다. Lagrange equation을 통해 역학계를 기술하는 방법인데, 다른 게시글에서 다뤄보도록 하겠다.
