1. Wave Motion (1)

1. 1차원 파동방정식.

먼저 파동이 무엇인지부터 짚고 넘어가자.

입자와 파동은 에너지를 전달하는 방식이 다르다. 입자는 직접 에너지를 전달하지만, 파동은 매질이 진동하면서 에너지와 모멘텀 (운동량)을 전파해나간다. 

파동에는 종파(longitudinal wave)와 횡파(transverse wave)의 두 가지 종류가 있다. 종파는 매질의 진동방향이 파동의 진행방향과 일치하는 파동이고, 횡파는 매질의 진동방향이 파동의 진행방향과 수직인 파동이다. 빛은 횡파이다.

 

임의의 1차원 좌표계 $S$에서, $t=0$일 때 $x=0$에서 평형상태를 가지고 일정한 속도 $v$로 $+x$방향으로 진행하는 파동함수 $\psi=f(x,t)$를 생각해보자. 그리고 이 파동은 시간이 $t$만큼 지난 이후 진폭이 $0$이 된다고 가정해보자. 그렇다면 시간 $t$이후 (당연히) 파동의 위치는 $x=vt$ 일 것이다.

그림1. S 좌표계의 파동함수 $\psi (x,t)$가 일정한 속도v로 진행하고 있다.

한 편, x=vt위치를 원점으로 갖는 또 다른 1차원 좌표계 S'을 생각해보자. S' 좌표계에는 $\psi'=f(x',t)$가 있다고 하자. 이 $\psi'(x't)$ 파동 역시 일정한속도 v로 +x방향으로 진행하는 파동함수이며, 시간이 t만큼 지난 이후 진폭이 0이 된다고 가정하자.

그림 2. S좌표계의 파동함수$\psi (x,t)$ 와, S좌표계에서 $x=vt$ 좌표를 원점으로 갖는 S'좌표계의 파동함수 $\psi ' (x',t)$가 일정한 속도 v로 진행하고 있다.

  S좌표계를 vt만큼 이동하면, S'좌표계의 파동함수와 S좌표계의 파동함수는 정확하게 일치할 것이다. 이를 수식으로 표현하면,

$$x=x'+vt$$

이므로, $f(x')=f(x-vt)$가 되고, 일반적으로 $\pm x$방향으로 진행하는 속도 v의 파동방정식은 

$$\psi(x,t)=f(x\mp vt)$$

꼴을 만족한다. 

(과정) 을 거치면, 최종적으로 우리는 다음과 같은 형태의 일차원 파동 미분 방정식을 얻을 수 있다. 

$$\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^2}$$

위 미분 방정식을 만족시키는 일반해는 다음과 같다.

$$\psi(x,t)=C_1f(x-vt)+C_2f(x-vt)$$

 

한편 파동방정식은 선형적임으로, 중첩원리가 적용된다. 

2. Maxwell equations과 빛

전자기의 특징을 나타내는 Maxwell equations는 일반적으로 다음과 같다.

 

$$Maxwell \ equations \left\{\begin{matrix} \nabla\cdot \vec D = \rho_f   \\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec B = 0  \\ \nabla \times \vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \end{matrix}\right.$$

$$where \ \vec D=\epsilon \vec E ,\ \vec H = \frac{1}{\mu_0} \vec B$$

 

free space라고 가정하면 (즉, $\rho_f = 0, \vec J_f = 0$)

 

$$Maxwell \ equations \ in \ free \ space \left\{\begin{matrix} \nabla\cdot \vec D = 0 \\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} \end{matrix}\right.$$

이 된다.

 

$\nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$ 에서 양변에 curl을 취해주면,

 

$$\nabla\times (\nabla \times \vec E) = \nabla \times(- \frac{\partial \vec B}{\partial t})$$

좌변부터 전개하면,

 

$$\nabla\times (\nabla \times \vec E)=\nabla (\nabla \cdot \vec E)- \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E$$

그리고 우변은,

$$\nabla\times(- \frac{\partial\vec B}{\partial t}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec B)= -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t})=-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

따라서 정리하면,

$$\nabla^2 \vec E = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

 

마찬가지로, $\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t}$ 에 대해서도 양변에 curl을 취해주고 정리하면, 

 

$$\nabla^2 \vec B = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$

 

즉, 전자파와 자기파가 진공에서 $v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$의 일정한 속도로 진행하는 파동이라는 것을 알 수 있고, 여기서 알 수 있는 놀라운 사실은 $\mu_0\epsilon_0$ 를 계산해보면 알 수 있다. 

$$\mu_0 \times \epsilon_0 = (1.2566 \times 10^{-6} m \cdot kg \cdot s^{-2} \cdot A^{-2}) \times (8.8542 \times 10^-12 m^{-3}\cdot kg^{-1} \cdot s^4 \cdot A^2) \approx 8.9875 m^{-2} s^2 = \frac {1}{c^2}$$

$$\therefore v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}=c$$

 

진공중에서 전자기파는, 정확히 진공중에서의 빛의 속도로 진행하고 있는 것이다. 이게 무슨 뜻일까? 

그렇다. 바로 빛이 전자기파이고, 전자기파가 곧 빛이라는 것이다. 

 

3. 조화파

파동을 표현하는 가장 쉬운 방법은 삼각함수를 사용하는 것이다. 우리가 살아가는 Cartesian 좌표계를 가장 잘 표현하면서, 매우 간결하기 때문이다. 또 Sine함수와 Cosine함수만 있다면 다른 어떤 파동도 만들어낼 수 있기 때문에 아주 유용하다.

우리는 삼각함수로 표현되는 파동을 '조화파' 라고 한다.

 

$$\psi(x,t) = f(x-vt) = Asin(kx-vt)$$

 

이 때 A는 진폭(Amplitude), k는 파수(wave number)라고 하며, 다음과 같은 관계를 갖는다.

$$k\lambda = 2\pi \ , \ v=\frac{\lambda}{T}=f\lambda \quad where \lambda = wave \ length, \; T=period$$

 

파동이 조화파 형태를 가질 때, sine의 내부 값 ($kx-vt$)을 위상이라고 하고, 일반적으로 초기위상 $\varepsilon$을 도입하면 다음과 같다.

$$\psi(x,t) = Asink(x-\omega t + \varepsilon) \quad where \; \omega = 2\pi f$$

 

위상 속도는 위상이 항상 일정한 값을 가지는 부분이 이동하는 속도를 말하고, 일반적으로 다음과 같다. 

 

$$\pm v = - \frac{(\partial\psi/\partial t)_x}{ (\partial\psi/\partial t)_t}$$

 

 

다음 시간에 계속...