바로 이전 게시글 1. Wave Motion (1) 에서 1차원 파동 미분방정식, 그리고 빛이 파동이라는 것을 알아보았다.
이번 게시글에서는 3차원 파동에 대해서 알아본다.
1. 파면과 평면파
3차원 공간에서, 2차원적인 진폭을 갖는 파동 여러개가 동시에 진행한다고 상상해보자. 이 때 같은 위상을 갖는 부분을 쭉 모으게 되면, 면이 될 것이다. 이 면을 파면(Wavefront) 라고 하고, 파면들이 모여서 평면파(plane wave front)가 된다. 이 때 파면은 평면파의 위상이 된다.
평면파를 표현하는 방정식은 평면의 방정식으로부터 시작된다. $\vec k$를 진행방향 벡터라고 하면, 평면위의 두 점을 이은 직선과 $\vec k$는 직교한다. 따라서 $\vec k \cdot \vec r=constant$ 이면 평면이다. 그러므로 평면파는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$\psi(\vec r) = Asin(\vec k \cdot \vec r) \; or \; Acos(\vec k \cdot \vec r) \; or \; Aexp[i(\vec k \cdot \vec r)]$$
파동이라면 공간적 주기 $\lambda$를 가져야 한다. 따라서
$$\psi(\vec r ) = \psi(\vec r + \lambda \hat k)$$
이므로, $\vec k = \frac{2\pi}{\lambda} \hat k$ 이다. 앞서 배운 파수 $k$와 크기는 같고 방향이 추가된 모습이다. 우리는 따라서 $\vec k$를 파수벡터(Propagation vector)라고 부른다.
평면파의 위상 속도는 어떨까? 위상 속도는 같은 위상이 움직이는 속도이므로, 결국 평면이 이동한 속도가 위상속도가 될 것이다. 시간에 대한 평면파의 방정식은
$$\psi(\vec r , t ) = Aexp[i(\vec k \cdot \vec r \mp \omega t )] $$
이고, 시간에 대해 미분한 위상속도는
$$\frac{dr}{dt} = \pm \frac{\omega}{k} = \pm v \; (direction \ of \ \vec k) $$
이다.
평면파 방정식을 미분형으로 나타내면,
$$ \nabla^2\psi = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$$
이고, 이때 $\nabla^2$은 Laplace operator로, 직교좌표계에서 다음과 같이 정의된다.
$$ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $$
1차원에서와 마찬가지로 미분방정식의 일반해는 Sine과 Cosine의 선형적인 결합으로 나타낼 수 있을 것이다.
2. 구면파와 원통형파
지금까지는 평면파에 대해서 다루어보았는데, 이제 구면파(Spherical wave) 혹은 원통형 파(Cylindrical wave) 도 고려해보자. 구면파의 경우 그 근원(source)가 점 형태이고, Cylindrical wave는 그림2 에서 볼 수 있듯 평면파가 작은 슬릿을 지나면 발생한다. 가장 대표적인 예로는 햇빛이 있고, Cylindrical wave는 그 유명한 Young의 이중 슬릿 실험 등에서 찾을 수 있다.
구면파와 원통형파는 각각 구면좌표계와 원통형 좌표계에서 표현하는 것이 더 수월할 것이다.
먼저 구면파부터 살펴보자.
구면파가 $\theta$와 $\phi$ 방향으로 대칭이라고 가정하고, 미분형 파동방정식을 작성한다면 다음과 같다.
$$\frac {\partial^2}{\partial r^2} (r\psi) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} (r\psi)$$
미분방정식의 해는 다음과 같다.
$$\psi (\vec r, t) = \frac{f(\vec r - 2\pi)}{r}$$
구면 좌표계에서 쓰여진 방정식을 변분법을 이용해 풀었을 때 얻어지는 것이 Legendre function 이므로, 일반적으로 구면좌표계에서 파동방정식을 만족하는 함수는 Legendre function임을 알 수 있다. 구형 조화파는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\psi (r,t) = \frac{A}{r} cos [k(r \mp vt)]$$
이 방정식이 정말 구면파를 잘 설명하고 있는 걸까? 생각해보자. 앞서 언급했지만, 파동은 매질이 운동상태 - 즉 에너지를 전달한다. 보존계에서 파동의 에너지는 보존되어야하고, 에너지 보존법칙에 의해서 에너지는 $\frac{1}{r^2}$ 에 비례하게 된다. 그런데 파동의 에너지는 진폭의 제곱에 비례하기 때문에 결국 진폭은 r에 반비례하게 된다. 즉, 우리의 방정식이 파동을 아주 잘 묘사하고 있다.
한편, 아주 멀리 떨어진 Spherical Wave의 경우 (e.g. 지구에서 받는 햇빛) 근사적으로 평면파로 보아도 무방하다.
다음은 Cylindrical wave다. 편의를 위해 원통좌표계에서 $\theta$와 $Z$ 방향에 대해 대칭이라고 가정하면, Cylindrical wave는
$$ \nabla^2\psi(\vec r) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$$
이다. 이 때 미분방정식의 해는 Bessel function일 것이므로, r이 충분히 클 때 근사해는 다음과 같다.
$$\psi(r,t) \approx \frac{A}{\sqrt{r}} exp[i(kr \mp \omega t)]$$
Cylindrical wave에서 파동은 선을 따라 퍼져 나가고, 에너지는 표면 면적에 비례한다. 따라서 에너지는 r에 반비례하게 되고, 진폭은 $\sqrt{r}$에 반비례한다. 역시 방정식이 cylindrical wave를 매우 잘 표현하고 있음을 알 수 있다.
