1. 1차원 파동방정식.
먼저 파동이 무엇인지부터 짚고 넘어가자.
입자와 파동은 에너지를 전달하는 방식이 다르다. 입자는 직접 에너지를 전달하지만, 파동은 매질이 진동하면서 에너지와 모멘텀 (운동량)을 전파해나간다.
파동에는 종파(longitudinal wave)와 횡파(transverse wave)의 두 가지 종류가 있다. 종파는 매질의 진동방향이 파동의 진행방향과 일치하는 파동이고, 횡파는 매질의 진동방향이 파동의 진행방향과 수직인 파동이다. 빛은 횡파이다.
임의의 1차원 좌표계 $S$에서, $t=0$일 때 $x=0$에서 평형상태를 가지고 일정한 속도 $v$로 $+x$방향으로 진행하는 파동함수 $\psi=f(x,t)$를 생각해보자. 그리고 이 파동은 시간이 $t$만큼 지난 이후 진폭이 $0$이 된다고 가정해보자. 그렇다면 시간 $t$이후 (당연히) 파동의 위치는 $x=vt$ 일 것이다.
한 편, x=vt위치를 원점으로 갖는 또 다른 1차원 좌표계 S'을 생각해보자. S' 좌표계에는 $\psi'=f(x',t)$가 있다고 하자. 이 $\psi'(x't)$ 파동 역시 일정한속도 v로 +x방향으로 진행하는 파동함수이며, 시간이 t만큼 지난 이후 진폭이 0이 된다고 가정하자.
S좌표계를 vt만큼 이동하면, S'좌표계의 파동함수와 S좌표계의 파동함수는 정확하게 일치할 것이다. 이를 수식으로 표현하면,
$$x=x'+vt$$
이므로, $f(x')=f(x-vt)$가 되고, 일반적으로 $\pm x$방향으로 진행하는 속도 v의 파동방정식은
$$\psi(x,t)=f(x\mp vt)$$
꼴을 만족한다.
(과정) 을 거치면, 최종적으로 우리는 다음과 같은 형태의 일차원 파동 미분 방정식을 얻을 수 있다.
$$ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^2} $$
위 미분 방정식을 만족시키는 일반해는 다음과 같다.
$$\psi(x,t)=C_1f(x-vt)+C_2f(x-vt)$$
한편 파동방정식은 선형적임으로, 중첩원리가 적용된다.
2. Maxwell equations과 빛
전자기의 특징을 나타내는 Maxwell equations는 일반적으로 다음과 같다.
$$ Maxwell \ equations
\left\{\begin{matrix}
\nabla\cdot \vec D = \rho_f
\\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}
\\ \nabla \cdot \vec B = 0
\\ \nabla \times \vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t}
\end{matrix}\right. $$
$$ where \ \vec D=\epsilon \vec E ,\ \vec H = \frac{1}{\mu_0} \vec B$$
free space라고 가정하면 (즉, $\rho_f = 0, \vec J_f = 0$)
\[Maxwell \ equations \ in \ free \ space \left\{\begin{matrix} \nabla\cdot \vec D = 0 \\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} \end{matrix}\right.\]
이 된다.
$\nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$ 에서 양변에 curl을 취해주면,
$$\nabla\times (\nabla \times \vec E) = \nabla \times(- \frac{\partial \vec B}{\partial t})$$
좌변부터 전개하면,
$$\nabla\times (\nabla \times \vec E)=\nabla (\nabla \cdot \vec E)- \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E$$
그리고 우변은,
$$\nabla\times(- \frac{\partial\vec B}{\partial t}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec B)= -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t})=-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$
따라서 정리하면,
$$ \nabla^2 \vec E = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$$
마찬가지로, $\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t}$ 에 대해서도 양변에 curl을 취해주고 정리하면,
$$ \nabla^2 \vec B = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec B}{\partial t^2} $$
즉, 전자파와 자기파가 진공에서 $v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$의 일정한 속도로 진행하는 파동이라는 것을 알 수 있고, 여기서 알 수 있는 놀라운 사실은 $\mu_0\epsilon_0$ 를 계산해보면 알 수 있다.
$$\mu_0 \times \epsilon_0 = (1.2566 \times 10^{-6} m \cdot kg \cdot s^{-2} \cdot A^{-2}) \times (8.8542 \times 10^-12 m^{-3}\cdot kg^{-1} \cdot s^4 \cdot A^2) \approx 8.9875 m^{-2} s^2 = \frac {1}{c^2}$$
$$\therefore v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}=c$$
진공중에서 전자기파는, 정확히 진공중에서의 빛의 속도로 진행하고 있는 것이다. 이게 무슨 뜻일까?
그렇다. 바로 빛이 전자기파이고, 전자기파가 곧 빛이라는 것이다.
3. 조화파
파동을 표현하는 가장 쉬운 방법은 삼각함수를 사용하는 것이다. 우리가 살아가는 Cartesian 좌표계를 가장 잘 표현하면서, 매우 간결하기 때문이다. 또 Sine함수와 Cosine함수만 있다면 다른 어떤 파동도 만들어낼 수 있기 때문에 아주 유용하다.
우리는 삼각함수로 표현되는 파동을 '조화파' 라고 한다.
$$\psi(x,t) = f(x-vt) = Asin(kx-vt)$$
이 때 A는 진폭(Amplitude), k는 파수(wave number)라고 하며, 다음과 같은 관계를 갖는다.
$$k\lambda = 2\pi \ , \ v=\frac{\lambda}{T}=f\lambda \quad where \lambda = wave \ length, \; T=period$$
파동이 조화파 형태를 가질 때, sine의 내부 값 ($kx-vt$)을 위상이라고 하고, 일반적으로 초기위상 $\varepsilon$을 도입하면 다음과 같다.
$$\psi(x,t) = Asink(x-\omega t + \varepsilon) \quad where \; \omega = 2\pi f$$
위상 속도는 위상이 항상 일정한 값을 가지는 부분이 이동하는 속도를 말하고, 일반적으로 다음과 같다.
$$\pm v = - \frac{(\partial\psi/\partial t)_x}{ (\partial\psi/\partial t)_t} $$
다음 시간에 계속...
