이전 6. Electromagnetic Theory (4) - 유전체에서 진행하는 빛 게시글에서 전자가 shift될 때, 복원력을 고려해서 Simple harmonic oscillator 모델로 1차원 공간에서 dipole moment의 이격거리를 구해보았다. 전자는 양성자에 약 $10^12 N/C$으로 묶여 있는데, 밖에서 들어오는 전자기장의 단위는 대략 $10^3~10^5 N/C$으로 들어오기 때문에 변위가 매우 작다. 그래서 조금 움직여봐야 제자리로 돌아오기 때문에 harmonic oscillator 모델은 적합하다고 볼 수 있다. 그런데, 전자는 질량을 가지고 있기 때문에 관성이 발생하고, 따라서 진동하는 전자에 의해 생성되는 두번째 전자기파(secondary wave)는 외부에서 들어오는 전자기파(primary wave)에 비해 위상이 느려진다. 이를 고려해 Forced harmonic oscillator 모델을 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ m \ddot{x}+2\beta x + \omega_0 ^2 x = Acos \omega t$$
이런 forced harmonic oscillator 식을 풀면, complementary solution과 particular solution 두 가지를 얻을 수 있다. 그런데 complementary solution을 집어넣으면 어차피 0이 나오고, 우리는 외부 전자기장에 의한 효과를 알아보려고 하기 때문에 particular solution을 알아보자. 위 식의 Particular solution은
$$x_p (t) = Dcos (\omega t - \delta) = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0 ^2 - \omega^2)^2 + 4\omega^2 \beta^2}}cos(\omega t -\delta) $$
$$where \ \delta = tan^-1 (\frac{2\omega \beta}{\omega_0 ^2 -\omega^2})$$
즉, 외부 전자기장은 $\omega t$로 진동을 했지만, 전자는 $\delta$만큼 늦게 진동하게 된다. 세가지로 경우를 나누어 살펴보자.
1. $\omega$가 공명주파수 $\omega_0$가 되면 $\delta = \frac{\pi}{2}$ 가 되어 공명한다.
2. $\omega \to 0$ 하면 $\delta = 0$ 이다. 외부 전자기장이 아주 천천히 움직이면 전자도 delay 없이 같이 따라간다.
3. 공진 주파수에서 멀어저 $\omega \to \infty$ 하면 (즉, $\omega>\omega_0$ 여서 n<1인 경우) phase는 $\pi$ 만큼 delay하게 된다. 외부 전기장이 아주 빠르게 움직이면 전자가 쫓아가지 못한다. 그것이 최대 180도까지 가능하다. 정반대로 움직이는 것이다. 180도가 넘어가게되면, 예를 들어 270도라면 거꾸로 90도이기 때문에 이것은 전자의 phase가 lead하는 것이 된다. ($cos(\theta - \frac{3\pi}{2}) = cos(\theta + \frac{\pi}{2})$ 이기 때문이다.)
이제 어떤 공간에 입사하는 primary wave와 여러 전자로부터 방출된 전자기파 (secondary wave)가 중첩된 resultant wave를 생각해보자 ($\vec E_R = \vec E_p + \vec E_S$). 어떤 점 $P$에서 resultant wave는 다음처럼 쓸 수 있다.
$$ E_R(t) = E_0 cos \omega t $$
이 때 만약 점 P가 유전체로 둘러쌓여있다면, 누적된 phase shift가 존재하게 된다. 한 번 phase shift가 발생하면, 다음 radiation에서도 연속적으로 계속 phase shift가 발생하기 때문이다. 따라서 매질 내에 존재하는 점 P에서 resultant wave는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ E_R(t) = E_0 cos(\omega t - \varepsilon_P) $$
여기서 $\varepsilon_P$ 가 바로 phase lag에 해당된다. Phase lag $\varepsilon_P$는 연속적인 radiation을 통해 누적되는 양이기 때문에 유전체 길이의 함수이다. $\varepsilon_P$는 $v<c$일 때, 즉 $n>1$ 일 때 나타난다. 비슷하게, phase lead는 속도의 증가 $v>c$, 즉 $n>1$에 해당된다. 위상 속도가 원래 빛의 속도보다 빨라지는 현상이 가능할까? 언뜻 보면 상대성이론에 위배되는 듯 하지만, 실제 매질 내에서 흡수가 일어나므로 이 때 전자기파는 전파하지 않는다. 주의해야 할 점은, 광자는 매질 존재 여부와 상관 없이 항상 $c$로 진행한다. 단지 매질 내에서 흡수 및 방출이 일어날 때 전후로 위상이 변하며, 변한 위상을 가진 광자들의 중첩으로 인해 우리는 위상속도 $v$를 관측하며, 따라서 굴절률이 1이 아닌 값을 가지게 되는 것이다.
참고로 LASER는 밖에서 drive해주는 전기장이 $10^7~10^8 N/C $ 높으면 $10^10 N/C$ 까지 가기 때문에 Harmonic oscillator 모델이 틀어지고, 비선형 term이 발생해 중첩원리가 작동하지 않는다.
