지금까지는 빛이 진공중에서 진행하는 상황을 살펴보았다. 하지만 실제 대부분의 상황에서 빛은 진공을 통과하지 않는다. 그래서 광학에서는 주로 빛이 잘 통과하고 전류가 흐르지 않는 투명한 물질, 자유전자가 존재하지 않는 유전체에서의 상호작용을 연구한다.
빛의 매질이 달라지면, 먼저 빛의 속도가 달라진다. 진공중에서 빛의 속도 $v_0 = c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}$ 에서 $v=1/\sqrt{\epsilon \mu}$가 된다. 이전 게시글 3. Electromagnetic Theory (1) 에서 언급했듯이 $ \epsilon = K_E \epsilon_0 $이고, $\mu = K_M \mu_0$ 이다. $K_E, K_M$은 각각 dielectric constant, relative permeability로 특히 $K_E$는 유전체의 특성을 결정하는 매우 중요한 요인이다.
우리는 굴절률을 다음과 같이 진공 중 빛의 속도와 매질 내 빛의 속도의 비로 정의한다.
$$ n \equiv \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\epsilon \mu}{\epsilon_0 \mu_0}} $$
매질 내 빛의 속도가 진공중에서 빛의 속도보다 커질 수 없기 때문에, 굴절률은 항상 1보다 클 수 밖에 없다.
일반 유전체에서 relative permeability $K_M$ 값은 거의 변하지 않고 약 1의 값을 가지므로, 위 굴절률 표현은
$$ n \cong \sqrt{K_E} $$
로 쓸 수 있다. 다음 표를 살펴보자.
| Substance | $\sqrt{K_E}$ | $n$ |
| Gases at 1atm and 273.15K | ||
| Air | 1.000 294 | 1.000 293 |
| Hydrogen | 1.000 034 | 1.000 036 |
| Carbon dioxide | 1.000 49 | 1.000 45 |
| Liquids at 293.15K | ||
| Benzene | 1.51 | 1.501 |
| Water | 8.96 | 1.333 |
| Ethyl alcohol (etanol) | 5.08 | 1.361 |
| Carbon disulfide | 5.04 | 1.628 |
| Solids at room temperature | ||
| Diamond | 4.06 | 2.419 |
| Amber | 1.6 | 1.55 |
| Fused silica | 1.94 | 1.458 |
| Sodium chloride | 2.37 | 1.50 |
Values of $K_E$ correspond to the lowest possible frequencies, in some cases as low as 60 Hz, whereas n is measured at about $ 0.5 \times 10^{15} Hz$. Sodium D light was used $(\lambda = 589.29 nm)$. Source: Hecht, Optics 5th ed. p.77 Table 3.2
위 표는 여러 물질에서 $\sqrt{K_E}$ 값과 $n$을 비교한 표이다. 기체에서는 두 값이 거의 비슷한데, 액체와 고체의 경우는 잘 맞지 않는다. 이는 $\sqrt{K_E}$ 값이 주파수에 의존하기 때문이다. 표 밑에 쓰여져 있는 것 처럼, low frequency에서 $\sqrt{K_E}$ 값을 측정했지만 실제 굴절률은 약590nm의 가시광선을 사용했기 때문에 이런 차이가 발생했다.
$\sqrt{K_E}$가 주파수에 의존하는 것은 결국 전기장이 전자를 흔들어서 매질 내에서 얼마나 전기장을 쫓아오느냐를 이야기 하는 것이고, 이 때 나타나는 delay가 후에 이야기할 '분산' 이라는 현상으로 나타난다.
한편 물의 경우 1.333 , 유리의 경우 약 1.5의 굴절률을 갖는다.
빛이 매질을 만나 나타나는 상호작용으로는 '산란', '흡수', '분산' 의 세가지가 있다. 하나씩 차례대로 살펴보자.
먼저 산란(Scattering)이다. 산란은 가장 간단하게는 Photon이 원자를 맞고 튕겨나오는 현상으로 이해할 수 있다. 이 때 에너지는 $h\nu$로 보존된다. 따라서 산란은 elastic process이다. 고전적으로 조금 더 살펴보면, electric dipole이 진동해서 dipole radiation으로 다시 방출하는 것으로 설명할 수 있다. 양자역학적으로는, 전자기파의 광자가 낮은 준위의 전자에 흡수되고, 에너지를 흡수한 전자가 높은 에너지 상태가 되었다가 매우 짧은 시간 (일반적으로 $~10^-8 s$ 정도)이 지난 후, 다시 ground state로 떨어지면서 흡수한 에너지 $h\nu$를 random한 방향으로 방출하는 것으로 설명할 수 있다. 즉, 원자 하나가 광자의 새로운 점광원이 되는 것이다. 후에 다시 다루겠지만, 이를 이용해 빛의 직진성을 설명한 사람이 바로 호이겐스이다.
위 산란 과정이 다원자에서 발생할 때, Phonon이 존재할 수 있다. Phonon에 의해서 에너지를 뺏겨 다시 방출하는(reradiation 하는) 에너지가 처음 들어온 에너지 $h\nu$ 보다 작으면 '흡수'가 발생했다고 한다. 이 흡수된 에너지들은 주로 열 에너지로 방출된다. 고전적으로는, dipole이 진동할 때 마찰이 생긴 것으로 이해할 수 있다. 이러한 흡수 과정 때문에 매질 혹은 물질이 색깔을 가지게 된다.
마지막으로 분산이다. 분산은 매질의 굴절률이 주파수에 의존하는 현상이다. 따라서 모든 매질은 분산 매질(dispersive medium)이며, 진공 만 아니다. 그것이 진공이니까. 분산의 대표적인 예시로는 무지개가 있다. 각 색에 해당하는 파장이 서로 다 다르기 때문에 굴절률이 다 달라지고, 그래서 무지개가 발생할 수 있다. (무지개를 조금 더 자세히 알아보고 싶다면 [물리 낙서장/광학] - 10. Propagation of Light (4) - Refraction 참조)
유전체에 전기장이 걸리면 내부 전하의 분포가 달라져 dipole moment $\vec p$ 가 발생한다. 그리고 단위 부피당 dipole moment는 전기적 편극(electric polarization) $\bf \vec P$ 로 정의한다. Displacement ${\bf \vec D} = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + {\bf \vec P}$ 이고, 따라서 정리하면,
$$ {\bf \vec P} = (\epsilon_0 - \epsilon) \vec E =\chi \vec E $$
일반적으로 상유전체는 외부자기장이 걸리면 Induced polarization이 걸린다. 하지만 원자가 이온으로 구성된 경우와 같이 내부적으로 $\vec p $를 가진 상태에서 외부 전기장이 걸리면, 외부 전기장 방향으로 전체적인 $\bf \vec P$가 생기고, 원상태로 돌아가는데 시간이 아주 오래 걸리게된다. 이를 강유전체라고 한다.
한편 전자가 shift될 때, 원래 상태로 돌아가려는 복원력이 작용한다. 따라서 이를 고전적인 Harmonic oscillator model로 생각해 볼 수 있다. 1차원 공간에서 전기장에 의해 전자에 걸리는 힘이 다음과 같다고 하자.
$$ F_E = q_e E(t) = q_E E_0 cos \omega t $$
이 때 복원력을 $m_e \omega_0 ^2 x $로 가정하면, 전자의 운동 방정식은
$$ F_{net} = ma = m_e \frac{d^2 x}{dt^2} = q_e E_0 cos\omega t -m_e \omega_0 ^2 x $$
이다. 위 미분방정식을 풀면 해, 즉 dipole moment의 이격거리 $x(t)$는,
$$ x(t) = \frac{q_e/m_e}{\omega_0 ^2 - \omega ^2} E(t) $$
이다. 이 때 $\omega_0$는 공명 주파수 (resonance frequency) 라고 한다.
따라서, 물질 내 생성되는 전기적 편극은
$$ {\bf P} = q_e x N = \frac{q_e NE/m_e}{\omega_0 ^2 - \omega^2} $$
그런데 전기적 편극은 앞에서 알아본 것 처럼,
$$ {\bf P(t)} = (\epsilon_0 - \epsilon) E $$
이다. 따라서,
$$\epsilon = epsilon_0 + \frac{P(t)}{E(t)} = \epsilon_0 + \frac{q_e NE / m_e}{\omega_0 ^2 - \omega^2}$$
이다. 우리는 마침내 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
$$ n^2(\omega) = K_E = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = 1 + \frac{Nq_e ^2}{\epsilon_0 m_e}(\frac{1}{\omega_0 ^2 - \omega^2})$$
이 식을 Dispersion equation 이라고 한다. 식에서 알 수 있듯이 주파수 $\omega$ 가 공진주파수 $\omega_0$과 같을 때 굴절률은 무한대가 된다. 굴절률이 무한대가 된다는 것은, 빛의 속도가 0이 된다는 뜻이다. 빛이 멈춘다는 뜻일까? 빛이 정지하는게 아니라, 빛이 전부 흡수된다는 것이다. 이러한 현상이 나타나는 공명주파수 근처 영역을 비정상 분산영역 (anomalous dispersion)이라고 하고, 이 주파수 영역에서는 전자기파의 흡수가 나타난다. 반대로 공명 주파수에서 멀리 떨어진 주파수의 전기장이 걸릴 경우 전자기파의 주파수가 클 수록 굴절률이 커지고, 이를 정상 분산영역(normal dispersion)이라고 한다.
또, 만약 $\omega > \omega_0$ 이면 굴절률이 1보다 작아진다는 결과가 나온다. 즉, 매질에서 빛의 속도가 진공에서의 속도보다 빨라진다. 이는 상대성원리의 기본가정을 위반하므로, 불가능하다.
우리는 dispersion equation을 매질 내 마찰에 의한 damping을 고려하지 않고 S.H.O. 모델을 이용했고, 공명 주파수 또한 매질 내 원자의 종류, 구조등에 따라 여러 개의 값들 ($\omega_{0j}$) 을 가질 수 있다. 이를 모두 고려한 일반적인 dispersion equation은 다음과 같다.
$$ n^2(\omega) = K_E = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} = 1+ \frac{Nq_e ^2}{\epsilon_0 m_e} \sum_{j} (\frac{f_j}{\omega_{0j} ^2-\omega^2 + i\gamma_j \omega}) $$
$$ where \ f_j \ : \ oscillator \ strength, \quad \gamma_j \ : \ frictional \ coefficient $$
실제 매질에서는 생성된 Polarization 때문에 다른 전기장이 발생하게 되어, 외부 전기장과 합쳐진 효과로 고려해야 한다. 이를 고려한 일반적인 굴절률 식은,
$$ \frac{n^2 -1}{n^2 +1} = \frac{Nq_e ^2}{3\epsilon_0 m_e} \sum_{j} (\frac{f_j}{\omega_{0j} ^2 - \omega ^2 + i\gamma_j \omega}) $$
이다.
다음 게시글에서는 Rayleigh Scattering과 Huygens' Principle에 대해 알아본다. 분산에 대해서도 게시글 하나를 사용해서 조금 더 자세히 다루어 본다.
