지난 글 1. Wave Motion (1) 에서 우리는 빛이 결국 전자기파라는 것을 확인했다. 따라서 광학을 함에 있어서 전자기 이론을 빼고는 이야기하기 어렵다. 전자기 이론의 처음이자 끝은 Maxwell equation이다. 이번 게시글에서는 멕스웰 방정식의 의미에 대해서 간략하게 짚어본다.
$$Maxwell \ equations \left\{\begin{matrix} \nabla\cdot \vec D = \rho_f \\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \vec B = 0 \\ \nabla \times \vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \end{matrix}\right.$$
$$ where \ \vec D=\epsilon \vec E ,\ \vec H = \frac{1}{\mu_0} \vec B$$
하나씩 그 의미를 살펴보면, 먼저
$$ \nabla\cdot \vec D = \rho_f $$
은, Gauss 법칙으로써 $ \vec E $ field의 발산하는 양이 전하밀도에 비례한다는 것이다. 이 때 비례 정도는 유전율 (permittivity)에 좌우된다. 개념적으로, 유전율은 매질의 전기적 특성을 구현한다. 어떤 의미에서 유전율은 매질이 얼마나 전기장을 "permit" 하는지에 대한 양이라고 생각해도 좋다.
참고로, 진공 (즉, free space)에서의 유전율 $\epsilon_0$ 값은 $\epsilon_0 = 8.8542 \times 10^-12 C^2/N\cdot m^2 $ 이다. 이 이상한 값은 단위를 어떻게 잡느냐에 따라서 달라지는데, 단위를 바꾸면 $55.2635 \ e^2 \cdot Ge V^-1 \cdot f m^-1 $ 로도 쓸 수 있다. 각기 다른 시스템에서 $\epsilon_0$를 전부 다 다르게 작성하고 변환해서 사용했어야 했기 때문에 이는 너무 번거로운 일이었고, 따라서 비율을 사용함으로써 이런 시간낭비를 피할 수 있었다. 우리는 dielectric constant (유전상수, 혹은 realtive permittivity-비유전율)$K_E$ 을 다음과 같이 정의해서 사용한다.
$$ K_E = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} $$
비유전율은 단위가 없는 값이고, 진공에서 비유전율의 값은 당연히 1이다.
다시 돌아와서, Gauss 법칙에서 $ \vec E $ field의 발산하는 양이 전하 밀도에 비례하기 때문에 당연히 charge가 존재 하지 않는 free space에서는 $ \nabla\cdot \vec D = 0 $이다. 전하는 크기가 매우 작기 때문에 점으로 생각할 수 있고, divergence 계산을 수행할 수 있다. 적분식으로 Gauss law를 표현하면 다음과 같다.
$$ \bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{A} \vec E \cdot d \vec s = \frac{q}{\epsilon_0} $$
다음, $ \nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t} $ 는 Faraday 법칙으로, 시간에 따른 자기변화가 전류가 발생한다는 것을 통해 발견한 법칙이다. 이 때 우변에 붙은 마이너스 부호는 Lentz의 법칙으로, 변화를 방해하는 쪽으로 전기장이 유도된다는 식이다. 적분식으로 표현하면 다음과 같다.
$$ \oint_{C} \vec E \cdot d \vec l = - \iint_{A} \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot d \vec s $$
세번째로, $\nabla \cdot \vec B = 0$ 은 이름이 없는 식이다. 자기장의 Divergence가 0이라는 것은, 자기장을 발산 하는 곳이 없다는 것이다. 즉, 자기 단극(monopole)은 없다. 자석을 아무리 작게 잘라도 계속 N극과 S극이 나타나는데, 이는 자기장이라는 것이 Spin에 의해 발생하기 때문이다. 한편 이 적분식으로 나타내면 다음과 같다.
$$ \bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{A} \vec B \cdot d \vec A = 0$$
마지막으로 $\nabla \times \vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t}$ 은 수정된 암페어 법칙이다. 초등학교 교사였던 Ampere는 도선에 전류를 흘리고 나침반을 가져다 대 봄으로써 전류가 자기장을 유도한다는 것을 발견했다. 이를 수식으로 나타내면
$$ \oint_{C} \vec B \cdot d \vec l = \mu_0 \bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{A} \vec J \cdot d\vec s $$
이다.
이후 Maxwell이 전기장의 시간젹 변화가 자기장을 유도한다는 것을 발견하고 $\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}$ 이라는 term을 추가시킨다. Maxwell term을 반영하고 상수들을 정리한 적분식은 다음과 같다.
$$ \oint_{C} \vec D \cdot d \vec l = \bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{A} (\vec J + \frac{partial \vec D}{\partial t} )\cdot d \vec s $$
위 네가지 식은 전부 실험식이라는 것을 유의해야한다. 자기 단극은 없는 것으로 생각되고 있지만, 자기 단극이 없는 환경에서 실험했기 때문이라는 주장도 있고 자기단극에 대한 연구도 이루어지고 있어서, 추후에 밝혀질 수도 있다. 아직까지는, 지금 우리가 알아본 네가지 식이 전자기파를 잘 표현하고 있다.
전자기파는 횡파이고 진행방향에 대해 서로 수직이다. 전기장과 자기장은 진공중에서 서로 유도하면서 퍼져나간다.
$$ \vec E \times \vec B \parallel \vec k $$
파동은 에너지와 운동량을 전달하는데, 공간제약이 없기 때문에 전자기파의 에너지는 단위 부피당 가지고 있는 에너지 밀도로 표시한다. 전기장의 크기가 $E$ 일 때 에너지 밀도 $\mu_E$는,
$$\mu_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 $$
이고, 자기장의 크기가 B일 때 에너지 밀도 $\mu_0$ 는,
$$\mu_B = \frac{1}{2} \frac{1}{\mu_0} B^2$$
이다. 이 때 $c=1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0} , E=cB$ 이므로 이를 대입하면 $\mu_E = \mu_B$ 라는 것을 알 수 있다. 따라서 전자기파가 가지는 에너지 밀도는 $\mu = \mu_E + \mu_B = \epsilon_0 E^2 = \frac{1}{\mu_0 ^2} B^2 $ 이다.
전자기파가 에너지를 전달하므로, 단위면적을 통과하는 전자기파의 에너지를 방향까지 고려해 표시하는 양을 Poynting vector $\vec S$ 라고 한다. 이때 Poynting은 사람이름이다. (pointing 아닙니다,,) 다음과 같이 정의한다.
$$ \vec S = \frac{1}{\mu_0} \vec E \times \vec B = c^2 \epsilon \vec E \times \vec B $$
한편, 일반적으로 전자기파의 주파수는 매우 높다. 예를 들어, 400~700nm 파장의 가시광선의 경우 계산해 보면 대략 $10^15 Hz $ 정도로 매우 빠르기 때문에 전자기파의 에너지를 실시간으로 계산하는 것은 의미가 없다. (너무 빠르게 바뀌기 때문) 따라서 우리는 시간에 따른 평균값을 사용하고 이를 Irradiance 혹은 Intensity $I$ 라고 한다.
전자기파가 다음과 같은 조화파라고 가정하자.
$$ \vec E = \vec E_0 cos(\vec k \cdot \vec r - \omega t) , \vec B = \vec B_0 cos (\vec k \cdot \vec r - \omega t) $$
이 때 Intensity는 다음과 같다.
$$ I = <S>_T = c^2\epsilon |\vec E \times \vec B| <cos^2(\vec k \cdot \vec r - \omega t)> = \frac{c\epsilon_0}{2} E_0 ^2 $$
전자기파가 점광원으로 발생하여 공간적으로 퍼져나가면 점광원으로부터 각기 다른 거리 $r_1, r_2$의 구면을 통과하는 총 에너지가 에너지 보존법칙에 의해 같아야한다. 따라서
$$ 4\pi r_1 ^2 I_1 = 4\pi r_2 ^2 I_2 \to r_1 E_0 (r_1) = r_2 E_0 (r_2) = constant $$
즉, 에너지 보존법칙에 의해서 Intensity는 거리의 제곱에 반비례 하며, 전기장의 세기는 거리에 비례한다.
