1. 파동의 중첩 - 같은 주파수를 갖는 두 파동을 더할 때.
파동방정식은 선형방정식으로, 이들의 어떤 선형 조합도 해가 된다. 이를 중첩원리라고 한다. 같은 주파수를 갖는 두 파동 $E_1 = E_{01}sin(\omega t + \alpha_1)$, $E_2 = E_{02}sin(\omega t + \alpha_2)$ 라고 하면 그 합은
$$ E = E_1 + E_2 = E_0 sin(\omega t + \alpha) $$
파동의 진폭은
$$ E_0 ^ 2 = E_{01} ^2 + E_{02} ^2 + 2E_{01}E_{02}cos(\alpha_2-\alpha_1) \\ E_0cos\alpha = E_{01}cos\alpha_1 + E_{02}cos\alpha_2 \\ E_0sin\alpha = E_{01}sin\alpha_1 + E_{02}sin\alpha_2$$
이 때 $2E_{01}E_{02}cos(\alpha_2-\alpha_1)$는 간섭항으로 위상이 in-phase(즉 $\delta = 0, \ \pm 2 \pi, \ \pm 4 \pi, \ \cdots$ 로 짝수배) 시 최대가 되며, out-of-phase(즉 $\delta = \pm \pi, \ \pm 3 \pi, \ \cdots$ 로 홀수배)시 최소가 된다. 초기 위상이 in-phase라면($\epsilon_1 = \epsilon_2$), 위상차 $\delta = (kx_1 + \epsilon_1 ) - (kx_2 + \epsilon_2)$는
$$ \delta = \frac{2\pi}{\lambda_0} n(x_1-x_2) $$
이다. $n(x_1-x_2)$ 를 광경로차(optical path difference)라고 하고, $\epsilon_1 - \epsilon_2 $가 일정하면 두 파동은 coherent 하다고 한다.
같은 주파수를 갖는 여러 파동의 합은 계속 선형결합하면 된다. 따라서 진동수와 진행속도는 일치하지만, 진폭과 위상이 달라진다.
$$ E = \sum_{i=1}^{n} E_i cos (\alpha_i \pm \omega t) = E_0 cos (\alpha \pm \omega t) \\ E_0 ^2 = \sum_{i=1}^{N} E_i ^2+ 2 \sum_{j>i}^{N} \sum_{i=1}^{N} E_i E_j cos(\alpha_i - \alpha_j) $$
만약 각 원자로부터 나오는 빛들의 초기 위상차가 짧은 시간 동안 유지된다면, cos의 시간평균은 0 이므로 평균 빛의 세기는,
$$ E_0 ^2 = N E_{01} ^2 $$
이런 경우는 전구나 촛불 등에서 나오는 빛으로, 초기 10ns정도만 coherent 하고 그 이상이 되면 위상정보를 잃고 incoherent해 지므로, 간섭무늬가 생기지 않는다.
만약 빛이 완전히 in-phase하다면,
$$E_0 ^2 = N^2 E_{01}^2 $$
평균 빛의 세기보다 훨씬 강한 출력을 얻을 수 있다. 혹자는 에너지 세기가 제곱이 되었기 때문에 에너지 보존이 깨졌다고 착각할 수 있지만, 전체 공간에서 에너지 분포는 동일하다. 즉, 다른 부분에서 더 작은 출력이 나타나기 때문에 여전히 파동의 에너지는 진폭에 비례하며, 중첩이 되기 이전과 이후 모두 에너지 보존법칙이 여전히 성립한다.
2. 정지파 (Standing wave) - 진동수, 진폭이 같고 진행방향이 반대인 두 파동을 합칠 때.
자 이제 진동수와 진폭이 같고 진행 방향이 반대인 다음 두 파동을 합친다고 생각해보자.
$$ E_L = E_0 sin(kx+\omega t + \varepsilon_1 ), \quad E_R = E_0 sin(kx -\omega t + \varepsilon_2) $$
$$ E_L + E_R = 2 E_0 sin(kx) cos(\omega t) $$
진행하는 파동방정식을 생각해보면, 형태가 $f(kx+ \omega t)$인데, 위에서 중첩된 파동은 그런 모양을 하고 있지 않다. 파동이 진행하지 않고 마치 정지해 그 자리에서 진동하는 것 처럼 보인다. 이런 파동을 정지파 (Standing wave)라고 한다. 정지파는 공명(resonance)와도 의미가 통한다. System이 공명주파수에서 발생하는 것이 정지파이다. 공명주파수 일 때 외부에너지를 system이 100% 흡수하기 때문에, 진폭이 계속 커지다가 버티지 못하고 system이 break 될 수 있다. 1940년 Tacoma bridge 붕괴 사례가 이 공명주파수의 적절한 예시가 될 수 있다. 다리 밑을 통과하는 바람에 의해resonance frequency가 형성되어 다리에 큰 에너지가 전달이 되었고, 결국 붕괴했다.
resonance는 이렇게 예상치 못한 곳에서 발생하면 매우 위험하지만, 반대로 아주 실용적으로 사용할 수 있다. 정지파를 이용해 LASER를 격자형태로 쏴 원자 한개를 node에 가두는 것도 가능하다.
2. 맥놀이 (beating) - 주파수가 약간 다르지만 진폭은 같을 때.
맥놀이는 주파수가 약간 다르고(즉, 파장이 약간 다르고) amplitude가 같은 파동이 진행할 때 진폭이 변조되는 현상이다. 실제 빛은 여러 개의 주파수가 모여 선폭이 있는 quasi-chromatic light이다. (대조적으로 단일 주파수 광은 monochromatic light라고 한다.)
주파수가 살짝 다른 다음 두 전기장
$$ E_1 = E_{01} cos (k_1x + \omega_1 t), \quad E_2 = E_{01} cos(k_2x - \omega_2 t) $$
가 중첩되는 상황을 살펴보자.
$$ E = E_1 + E_2 = 2E_{01}cos(k_mx-\omega_mt)cos(\bar{k}x - \bar{\omega}t) $$
가 되고 이 때 $k_m$과 $\omega_m$를 각각 modulation propagation number, modulation frequency라고 부르며 다음과 같이 정의된다.
$$ K_m \equiv \frac{1}{2}(k_1-k_2, \quad \omega_m \equiv \frac{1}{2}(\omega_1 -\omega_2) $$
$\bar{k}$ 와 $\bar{\omega}$는 각각 carrier propagation number와 carrier frequency라고 부르고, 다음과 같이 정의된다.
$$ \bar{k} \equiv \frac{1}{2}(k_1+k_2), \quad \bar{\omega} \equiv \frac{1}{2}(\omega_1 + \omega_2) $$
일반적으로 $\bar{\omega} >> \omega_m $ 이므로 중첩된 전기장은 $\bar{\omega}{\bar{k}}$ 로 진동하며 전파하지만, 파장의 진폭은 $\omega_m(k_m)$ 으로 서서히 변한다. 빛의 세기 $I$는 다음과 같다.
$$ I = E_0 ^2 (x,t) = 2E_{01}^2[1+cos(2k_mx-2\omega_mt)] $$
따라서 빛의 세기는 $2\omega_m = (\omega_1 - \omega_2)$로 진동하고, 이 진동 주파수를 맥놀이 주파수(beat frequency)라고 한다.
진폭이 같을 경우에는 최소 진폭이 0이되어 node가 발생하는데, 두 파장의 진폭이 다르면 최소 진폭이 0이 되지 않는다.
물체에 산란된 빛은 도플러 효과에 의해 주파수가 조금 변하게 되는데, 이를 원래 쏘아준 빛과 중첩시켜주면 빛의 맥놀이가 발생하게 되고, 이를 측정하면 물체(원자, 행성의 운동 등)의 움직임을 추적할 수 있다.
