20. Superposition of Waves (2) - 군속도, 비조화 주기 파동

1. 군속도 (Group velocity)

    여러 주파수 성분을 가진 파동이 중첩되면 원래의 파동 속도와 다르게 움직인다. 변조된 진폭의 파동 속도를 군속도라고 한다. $\bar{\omega} >> \omega_m$이므로, 맥놀이 파동 

$$E = E_0(x,t)cos(\bar{k}x-\bar{\omega}t)$$  

에서 $\bar{\omega}$ 주파수로 진동하는 carrier wave의 전파 속도, 즉 파동 내부 피크들의 위상속도는

$$v = -\frac{(\partial \varphi / \partial t)_x}{(\partial \varphi / \partial t)_t} = \frac{\bar{\omega}}{k}$$  

이다.

    한 편 변조된 진폭 $E_0(x,t)$의 전파되는 속도, 파동의 envelope이 움직이는 속도를 군속도 $v_g$라고 하고, 

$$E_0(x,t) = 2E_{01}cos(k_mx-\omega_mt)$$

$$v_g = \frac{\omega_m}{k_m} = \frac{\Delta \omega}{\Delta k} = (\frac{d\omega}{dk})_\omega$$

    광속 $c = \lambda f$ 이고, 파수 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, 이 때 각진동수$\omega = 2\pi f$ 이므로, $\frac{\omega}{k} = c$ 인 것을 알 수 있다. 매질에서는 $\omega = kv = k\frac{c}{n(\lambda)}$이므로,

$$v_g = \frac{d\omega}{dk} = v+ k\frac{dv}{dk} = \frac{c}{n} - \frac{kc}{n^2}\frac{dn}{dk} = v(1-\frac{k}{n}\frac{dn}{dk})$$

    만약 굴절률 $n$이 파장에 의존하지 않는다면 군속도는 $c/n$ 이겠지만, $n$은 분산효과 때문에 파장에 의존한다. 따라서 normal dispersion 영역에 있을 때 군속도는 파동 위상속도보다 항상 작다. 반면 파동의 중심 주파수가 anormalous dispersion 영역(공명주파수 근처)에 있다면 군속도는 각 구성 파동의 위상속도보다 빠르다. 하지만, 앞서 알아봤듯이 비정상 분산 영역에서는 흡수가 발생하므로 전파가 발생하지 않아 의미가 없다. 따라서 군속도는 항상 위상속도보다 느리고, 군속도 굴절률 $n_g \equiv c/v_g$ 로 정의된다. 군속도는 우리가 정보를 보내는 원리이기도 하다. (FM, AM) 

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2. 비조화 주기 파동

    서로 다른 진폭과 파장을 가진 두 개 이상의 주기적 파동이 중첩되면, 주기성을 가지지만 조화파동이 아니게 된다. 이를 비조화 주기파동이라고 한다. 비조화 주기파동은 조화 파동의 합으로 표현될 수 있다. 비조화 주기파동을 조화파 성분으로 나누는 수학적인 이론을 Fourier's Theorem 이라고 하며, 이를 적용해 조화파동의 주파수 별 진폭을 표시하는 그래프를 Frequency spectrum이라고 한다. 

   임의의 주기함수를 Fourier series로 나타내면 다음과 같다. 

$$f(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} A_m cosmkx + \sum_{m=1}^{\infty} B_m sinmkx$$

$$A_0 = \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{\lambda} f(x) \ dx$$

$$A_m = \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{\lambda} f(x)cosmkx \ dx, \quad B_m = \frac{2}{\lambda}\int_0^{\lambda} f(x)sinmkx \ dx$$  

    여기서 $\lambda$는 함수의 공간적 주기를 나타내며, $A_0$는 조화함수가 아니면서 -이 아닌 값 (즉, off-set값), $A_m, B_m$은 각각 $mk$의 주기성분을 가지면서 사인 혹은 코사인의 크기를 나타낸다. 함수 $f(x)$가 우함수($cos$ 등)면 $B_m$은 $0$이고, 기함수($sin$ 등)면 $A_m = 0$ 이다. 

    예를 들어

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} +1 \quad when \ 0<x<\lambda/2 \\ -1 \quad when \ \lambda/2<x<\lambda \end{matrix}\right.$$

    이 때$f(x)$는 기함수이므로 $A_m = 0$ 이고, 값을 대입해서 적분하게 되면

$$B_m = \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{\lambda/2} sin(mkx)dx + \frac{2}{\lambda} \int_{\lambda/2}{\lambda} -sin(mkx)dx$$

$\therefore B_m = \frac{2}{m\pi}(1-cosm\pi)$ 를 얻을 수 있고, 최종적으로 $f(x) = 4/\pi (sinkx+ \frac{1}{3} sin3kx + \frac{1}{5} sin5kx + \cdots )$의 식을 얻을 수 있다. $k=1$로 두고, term을 하나씩 늘려가며 그래프를 구해보면 다음과 같다. 

    그래프를 보면 고주파항으로 갈 수록 원래 펄스모양에 가까워짐을 알 수 있다. 실제 function generator 기기는 이와 같은 방법을 이용하여 원하는 파형을 생성한다.