Reflection, '반사'라는 현상은 우리에게 아주 익숙하다. 어린 아이들도 빛이 유리같은 투명한 물질의 경계에서 다시 되돌아 오는 것이 반사라는 것을 경험적으로 알고있다. 이번 게시글에서는 Reflection을 조금 더 물리적으로 알아본다.
Propagation of Light라는 주제로 매질에서 빛이 진행하면서 발생하는 다양한 상호작용을 알아보고 있다. 빛이 진행하며 매질 내 원자와 만나 scattering이 발생하고, 각 원자는 새로운 점광원이 되어 전자기파를 재방출한다. 이 때 재방출된 전자기파들은 공간적으로 중첩이 일어나는데, 같은 매질 내에서 진행방향으로는 보강간섭, 반대방향으로는 소멸간섭을 일으키며 원래 입사된 전자기파의 방향을 유지하며 진행한다. 이것이 바로 앞서 살펴본 호이겐스 원리이다.
그런데 빛이 매질이 다른 경계면을 통과할 때, 입사하는 방향의 반대방향으로 소멸간섭이 완전히 일어나지 않는 경우가 있는데, 이것이 바로 Reflection, 반사이다. 일반적으로, 반사에 크게 공헌하는 원자는 경계면에서 반파장 내에 있는 원자층이다.
다음과 같이 다른 경계면에 입사하는 전자기파를 생각해보자.
이 때 입사되는 빛이 경계면의 수직한 방향에 대해 이루는 각도를 입사각$\theta_i$, 반사되는 빛이 경계면의 수직한 방향에 대해 이루는 각도를 반사각$\theta_r$, 마찬가지로 굴절되는 빛이 경계면의 수직한 방향에 대해 이루는 각도를 굴절각$\theta_t$ 이라고 정의한다. 또, 입사되는 ray와 반사되는 ray, 굴절되는 ray가 같이 있는 평면을 plane of incidence라고 한다.
위 상황에서 입사파 $\vec E_i$, 반사파 $\vec E_r$, 굴절파 $\vec E_t$ 는 다음과 같이 주어진다고 하자.
$$ \left\{\begin{matrix} \vec E_i = \vec E_{0i} \cdot e^{i(\vec k_i \cdot \vec r - \omega_i t)}
\\ \vec E_r = \vec E_{0r} \cdot e^{i(\vec k_r \cdot \vec r - \omega_r t)}
\\ \vec E_t = \vec E_{0t} \cdot e^{i(\vec k_t \cdot \vec r - \omega_t t)}
\end{matrix}\right. $$
이 때 각 파장의 진폭은 Complex vector임에 유의하자. 즉, $\vec E _{0i} = \vec E' _{0i} \cdot e^{i \delta}$ 이고, $\vec E' _{0i}$ 는 실수파트이다. 즉 물리적으로 의미가 있는 part는 $Re[\vec E_i] = \vec E'_{0i} \cdot cos(k_i z-\omega t+\delta)$ 이다.
다시 돌아와서, free charge나 free current가 없고 물질이 nonconducting하며 linear하다고 가정할 때, Maxwell equation과 boundary condition은 다음과 같다.
$$ Maxwell \ equations \ with \ boundary \ conditions $$
$$ \left\{\begin{matrix} \nabla \cdot \vec E = 0 \ , \quad \quad \ \hat n \cdot (\varepsilon_2 \vec E_2 -\varepsilon_1\vec E_1) = 0
\\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \ , \quad \quad \ \hat n \times (\vec E_2 -\vec E_1) = 0
\\ \nabla \cdot \vec B = 0 \ , \quad \quad \ \hat n \cdot (\vec B_2 -\vec B_1) = 0
\\ \nabla \times \vec B = \mu \varepsilon \frac{\partial \vec E}{\partial t} \ , \quad \quad \ \hat n \times (\frac{1}{\mu_2} \vec B_2 -\frac{1}{\mu_1} \vec B_1) = 0
\end{matrix}\right. $$
Boundary condition만 조금 더 정리하면,
$$ \left\{\begin{matrix} \nabla \cdot \vec E = 0 \ , \quad \quad \ \varepsilon_2 \vec E_{2n} -\varepsilon_1\vec E_{1n} = 0
\\ \nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \ , \quad \quad \ \vec E_{2t} -\vec E_{1t} = 0
\\ \nabla \cdot \vec B = 0 \ , \quad \quad \ \vec B_{2n} -\vec B_{1n} = 0
\\ \nabla \times \vec B = \mu \varepsilon \frac{\partial \vec E}{\partial t} \ , \quad \quad \ \frac{1}{\mu_2} \vec B_{2t} -\frac{1}{\mu_1} \vec B_{1t} = 0
\end{matrix}\right. $$
1번 매질에서 진행하는 파장을 $\vec E_1 = \vec E_i + \vec E_r $로, 2번 매질에서 진행하는 파장을 $\vec E_2 = \vec E_t $로 쓸 수 있을 것이다. 이제 boundary position $\vec r_B$에서, 두 번째 Boundary condtion (즉, $ \vec E_{1t} = \vec E_{2t} $) 를 적용하면, 모든 시간과 모든 가능한 $\vec r_B$에서
$$ [\vec E_i + \vec E_r]_t = [\vec E_t]_t $$
이고, 전개하면
$$[\vec E_{0i} \cdot e^{i(\vec k _i \cdot \vec r_B - \omega_i t)} + \vec E_{0r} \cdot e^{i(\vec k_r \cdot \vec r_B - \omega_r t)}]_t = [\vec E_{0t} \cdot e^{i(\vec k_t \cdot \vec r_B - \omega_tt)}]_t $$
이 된다. 이 등식을 만족하기 위해서는 exp 항이 모두 같아야만 한다. 따라서,
$$ \omega_i = \omega_r = \omega_t = \omega $$
가 된다. 또, $k_i, k_r, k_t$ 는,
$$k_i = \frac{\omega}{v_1} = \frac{n_1}{c}\omega = k_1 $$
$$k_r = \frac{\omega}{v_1} = \frac{n_1}{c}\omega = k_1 $$
$$k_t = \frac{\omega}{v_2} = \frac{n_2}{c}\omega = k_2 $$
이 된다. exp 항이 전부 같아야 하므로, 당연히 $\vec k_i \cdot \vec r_B = \vec k_r \cdot \vec r_B = \vec k_t \cdot \vec r_B $ 인데, $\vec r_B$는 boundary surface에 있는 임의의 boundary position 즉, $\vec r_B = (x,y,0)$ 이므로 모든 ${x,y}$ 에 대해서
$$ k_{ix} \cdot x + k_{iy} \cdot y = k_{rx} \cdot x + k_{ry} \cdot y = k_{tx} \cdot x + k_{ty} \cdot y $$ 를 만족한다.
y=0 이라고 가정하면,
$$k_{ix} = k_{rx} = k_{tx} \quad \to \quad k_i sin\theta_i = k_r sin\theta_r = k_t sin\theta_t$$
이다.
그런데 $k_i = k_r = k_1 $ 이므로, 따라서
$$\theta_i = \theta_r \ \to \ law \ of \ reflection$$
입사각과 반사각은 같다는 반사법칙 (law of reflection)을 확인할 수 있다.
전자기파를 가지고 반사법칙을 유도해보았는데, 이 방법 이외에도 아주 쉽게 반사법칙을 유도해낼 수 있다. 가장 쉬운 방법은 진행하는 전자기파의 파면을 가지고 기하학적으로 증명할 수 있고, 광자의 운동량 보존으로도 유도할 수 있다. 이것은 시간이 나면 업데이트 해보겠다.
반사법칙과 반사특성을 활용하는 좋은 예시는 F-117A와 같은 Stealth fighter이다. 스텔스기는 적의 radar에 포착되는 것을 피하기 위해서 반사법칙을 사용해 기체를 평평한 경사면으로 제작해 입사하는 radar를 scattering하고, 특수 도료를 사용해 일부는 흡수하기도 한다. 즉, 상대방의 radar가 기체에 도달해도 $\theta_i = \theta_r \approx 0$ 이 되는 것을 피해 기체를 맞고 상대방의 기지로 전송되지 않게끔 한다.
