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물리 낙서장

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Four-Vector와 Relative Energy. Four vector (4원벡터)는 기존의 3차원에서 시간을 포함한 벡터이다. 수학적으로는 tensor로 구현된다. $$x_\mu = (ct, x_1, x_2, x_3)$$ 참고로 아래 첨자가 $i,j,k$ 이면 공간이고, greek으로 $\mu, \phi, \rho, ...$ 이면 시공간을 뜻한다. 이제 아래와 같은 수식을 살펴보자. $$c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2$$ 이 수식은 시공간상에서의 거리를 나타낸다. 우리는 이 수식의 세 가지 경우를 살펴볼 수 있는데, 먼저 1. $c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0$ 인 경우 이 경우 $c^2 t^2 = x^2 + y^2 + z^2 $ 이므로, 빛이 이동하는 시간과 좌표를 표현한다. 즉, $t = \frac{\sqrt{x..
Chemical Potential $\mu$ Chemical potential $\mu$는 system간 입자의 흐름을 결정한다. 즉, $\mu$가 큰 곳에서 낮은 곳으로 입자가 이동한다. $$ \mu \equiv (\frac{\partial F}{\partial N})_{T,V} $$ 만약 $\mu_1>\mu_2$ 이면, 입자는 1에서 2로 이동한다. $$dF = [(\frac{\partial F_1}{\partial N_1})-(\frac{\partial F_2}{\partial N_2})] dN_1 = (\mu_1 - \mu_2)dN_1$$ 1에서 2로 이동하므로, $dN_1
축구공의 꼭지점 갯수는 몇개일까? 축구공의 꼭지점은 몇개일까? 축구공은 위 사진처럼 가운데 오각형 1개가 있고 이를 6각형 5개가 감싸고 있는 패턴이 반복된다. 또, 꼭지점들을 살펴보면 모든 꼭지점이 6각형 2개, 5각형 1개로 상황이 같다. 이 경우 볼록다면체 데카르트 정리를 사용해 꼭지점의 개수를 구할 수 있다. 볼록다면체 데카르트 정리는 다음과 같이 요약할 수 있다. "꼭지점에서 손실각을 합하면 $4\pi$ 이다." 이 때 손실각은 $360^{\circ}-$한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합 으로 정의된다. 예를들어 다음 정육면체를 생각해보자. 왼쪽 정육면체의 표시된 꼭지점은 주변에 90도 3개를 가지고 있으므로, 손실각은 $$ 360^{\circ} - (90^{\circ} \times 3) = 90^{\circ} =..
CSCO란? CSCO는 Complete Set of Commuting Observables의 줄임말이다. 양자역학에서 이는 다음과 같이 정의된다. Complete Set of Commuting Observables (CSCO) is a set of commuting operators whose eigenvalues completely specify the state of a system. 정의를 정확하기 이해하기 위해, 아래 용어의 뜻을 정확하게 짚고 넘어갈 필요가 있다. 1. 먼저 Observable은 Hermitian Operator를 의미한다. 잘 알고 있겠지만, $A^{\dagger} = A$ 인 경우, (matrix에서 $(A^T)^{-1} = A$ 인 경우) A를 Hermitian이라고 한다. 2. 다음,..
유체에서 음파의 속도 유도 (Derivation of the speed of the sound within fluids) 음파는 액체나 기체와 같은 다양한 유체속에서 전파될 수 있고, 유체의 국부적인 압력(local pressure)과 밀도의 진동으로 구성된다. 오늘은 유체 내에서 음파의 속도를 유도해본다. 위와 같은 상황을 생각해보자. 여기서 $d\vec{\sigma}$ 는 area element vector이고, $\rho\vec{u}$ 는 mass flux로 단위시간당 단위면적당 질량이다. 따라서 $ \oint_S \rho \vec{u} \cdot d\vec{\sigma} $ 는 mass flux out of a closed surface S 이다. $$ \oint_S \rho \vec{u} \cdot d\vec{\sigma} = -\frac{\partial}{\partial t} \int \rho dV$$ 여기에 가..
이항 정리 (Binomial Theorem) $(1+x)^{\frac{1}{2}}$ 는 $\left| x \right |
Gamma Function (감마 함수) Gamma Function은 여러가지 정의를 가지고 있다. Euler의 정의 주로 확률론에서 많이 사용한다. $$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt \quad (Re \ Z>0)$$ 주로 물리에서 사용한다. 즉, 우리가 주로 사용할 형태이다. $$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t^2} t^{2z-1} dt \quad (Re \ Z>0)$$ 이런 것도 있다. 잘 사용하지는 않는다. $$\Gamma(z) = \int_0^1 [ln(\frac{1}{t})]^{z-1}dt \quad (Re \ Z>0)$$ Gauss의 정의 Infinite Limit $$\Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^{z}}{z(z+..
Statements of the 2nd Law - 열역학 2법칙에 대한 몇 가지 진술. Kelvin Statement : " There exists no thermodynamic transformation whose 'sole' effect is to extract a quantity of heat from a given heat resevoir and to convert it entirely into work " - 일정한 온도에 있는 한 개의 열원(heat source)로 부터 열을 추출해 완전히 일로 바꾸고 '여타의' 효과(sole effect)를 발생시키지 않는 과정은 불가능하다. Clausius Statement : "There exists no thermodynamic transformation whose 'sole' effect is no extract a quantity of..

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